Bài 2.29 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Chứng minh rằng: a) Trong một cấp số cộng (left( {{u_n}} right)), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là ({u_k} = frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}) với (k ge 2)

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) Trong một cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

\({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\) với \(k \ge 2\).

b) Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối, nếu có) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là

\(u_k^2 = {u_{k - 1}}.{u_{k + 1}}\) với \(k \ge 2\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tổng quát \({u_n}\) của cấp số cộng và cấp số nhân để lần lượt chứng minh đẳng thức.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a) Ta có \({u_{k - 1}} = {u_1} + \left( {k - 2} \right)d\)

\({u_k} = {u_1} + \left( {k - 1} \right)d\)

\({u_{k + 1}} = {u_1} + kd\)

Do đó:

\({u_{k - 1}} + {u_{k + 1}} = {u_1} + \left( {k - 2} \right)d + {u_1} + kd = 2{u_1} + \left( {2k - 2} \right)d\) \( = 2\left[ {{u_1} + \left( {k - 1} \right)d} \right] = 2{u_k}\)

Suy ra: \({u_k} = \frac{{{u_{k - 1}} + {u_{k + 1}}}}{2}\) (đpcm).

b) Ta có: \({u_{k - 1}} = {u_1} \times {q^{k - 2}}\)

\({u_k} = {u_1} \times {q^{k - 1}}\)

\({u_{k + 1}} = {u_1} \times {q^k}\)

Do đó:

\({u_{k - 1}} \times {u_{k + 1}} = \left( {{u_1} \times {q^{k - 2}}} \right) \times \left( {{u_1} \times {q^k}} \right) = u_k^2.{q^{2k - 2}} = {\left( {{u_1}.{q^{k - 1}}} \right)^2} = u_k^2\) (đpcm).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.5 trên 16 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 2.30 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Tìm ba số, biết theo thứ tự đó chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2;3;9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.
Bài 2.31 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Mặt sàn tầng một (tầng trệt) của một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5m. Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 25 bậc, mỗi bậc cao 16 cm. a) Viết công thức để tìm độ cao của bậc thang thứ n so với mặt sân b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân
Bài 2.32 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Một hình vuông màu vàng có cạnh 1 đơn vị dài được chia thành chín hình vuông nhỏ hơn và hình vuông ở chính giữa được tô màu xanh như Hình 2.1. Mỗi hình vuông màu vàng nhỏ hơn lại được chia thành chín hình vuông con, và mỗi hình vuông con ở chính giữa lại được tô màu xanh. Nếu quá trình này được tiếp tục lặp lại năm lần thì tổng diện tích các hình vuông được tô màu xanh bao nhiêu?
Bài 2.28 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Hỏi sau 24 giờ, tế bào ban đầu sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
Bài 2.27 trang 57 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, chuông của một chiếc đồng hồ quả lắc sẽ đánh bao nhiêu tiếng, biết rằng nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ.
Bài 2.26 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Tổng 100 số hạng đầu của dãy số (left( {{u_n}} right))với ({u_n} = 2n - 1) là A. 199 B. ({2^{100}} - 1) C. 10 000 D. 9999
Bài 2.25 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân? A. ({u_1} = - 1,;{u_{n + 1}} = u_n^2) B. ({u_1} = - 1,;{u_{n + 1}} = 2{u_n}) C. ({u_1} = - 1,;{u_{n + 1}} = {u_n} + 2) D. ({u_1} = - 1,;{u_{n + 1}} = {u_n} - 2)
Bài 2.24 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho dãy số (({u_n})) với ({u_n} = 3n + 6). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Bài 2.23 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho dãy số (1,frac{1}{2},frac{1}{4},frac{1}{8}, ldots ;) (số hạng sau bằng một nửa số hạng liền trước nó) Công thức tổng quát của dãy số đã cho là:
Bài 2.22 trang 56 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức
Khẳng định nào sau đây là sai? A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm D. Một dãy số không đổi thì bị chặn