Bài 2. Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai..

Lý thuyết Phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 Cùng khám phá

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng

\(ax + by = c\),

trong đó a, b và c là các số đã biết (\(a \ne 0\) hoặc \(b \ne 0\)).

Ví dụ: \(2x + 3y = 4\), \(0x + 2y = 3\), \(x + 0y = 2\) là các phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn \(ax + by = c\) nếu \(a{x_0} + b{y_0} = c\).

Ví dụ: Cặp số \(( - 1;2)\) là nghiệm của phương trình \(2x + 3y = 4\) vì \(2.\left( { - 1} \right) + 3.2 = - 2 + 6 = 4\).

Cặp số \((1;2)\) không là nghiệm của phương trình \(2x + 3y = 4\) vì

\(2.1 + 3.2 = 2 + 6 = 8 \ne 4\).

Biểu diễn nghiệm trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, mỗi nghiệm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) của phương trình \(ax + by = c\) được biểu diễn bởi điểm có tọa độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\).

Ví dụ:

Nghiệm của phương trình \( - 3x + y = 2\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(y = 3x + 2\).

Nghiệm của phương trình \(0x + y = - 2\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(y = - 2\) vuông góc với Oy tại điểm \(M\left( {0; - 2} \right)\).

Nghiệm của phương trình \(2x + 0y = 3\) được biểu diễn bởi đường thẳng d: \(x = 1,5\) vuông góc với Ox tại điểm \(N\left( {1,5;0} \right)\).

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ phương trình có dạng:

\(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.\),

trong đó mỗi phương trình của hệ là một phương trình bậc nhất hai ẩn x và y.

Ví dụ: Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}3x = 1\\x - y = 3\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}4x - y = 3\\3y = 6\end{array} \right.\) là các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được gọi là một nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn nếu nó là nghiệm chung của hai phương trình của hệ đó.

Lưu ý:

- Nếu hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn không có nghiệm thì ta nói hệ đó vô nghiệm.

Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là tìm tất cả các nghiệm của nó.

Ví dụ: Cặp số (1; 2) là một nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 0\\x + y = 3\end{array} \right.\), vì:

\(2x - y = 2.1 - 2 = 0\) nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ nhất.

\(x + y = 1 + 2 = 3\) nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ hai.

3. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (xem là phương trình thứ nhất, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2. Giải phương trình thu được ở Bước 1 để tìm giá trị của ẩn có mặt trong phương trình đó.

Bước 3. Sử dụng giá trị của ẩn tìm được trong Bước 2 để tìm giá trị của ẩn còn lại rồi kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y = 3\\x + 2y = 4\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(y = 2x - 3\).

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được \(x + 2\left( {2x - 3} \right) = 4\)

Giải phương trình \(x + 2\left( {2x - 3} \right) = 4\), ta được:

\(x + 2\left( {2x - 3} \right) = 4\)

\(5x - 6 = 4\)

\(x = 2\).

Thay \(x = 2\) vào phương trình \(y = 2x - 3\), ta có: \(y = 2.2 - 3 = 1\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\).

2. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = - 2\\2x - 2y = 8\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(x = y - 2\).

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

\(2\left( {y - 2} \right) - 2y = 8\)

\(0y - 4 = 8\).

Do không có giá trị vào của y thỏa mãn hệ thức \(0y - 4 = 8\) nên hệ phương trình vô nghiệm.

3. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} - x + y = - 2\\3x - 3y = 6\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp thế như sau:

Từ phương trình thứ nhất của hệ, ta có \(y = x - 2\).

Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được

\(3x - 3\left( {x - 2} \right) = 6\)

\(0x = 0\).

Ta thấy mọi giá trị của x đều thỏa mãn \(0x = 0\).

Với giá trị tùy ý của x, giá trị tương ứng của y được tính bởi \(y = x - 2\).

Vậy hệ phương trình có nghiệm là \(\left( {x;x - 2} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\) tùy ý.

Lưu ý: Trong quá trình giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, nếu sau khi thế xuất hiện phương trình có hệ số của ẩn bằng 0 thì hệ phương trình đã cho hoặc có vô số nghiệm, hoặc vô nghiệm.

4. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:

Bước 1. Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2. Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình thu được trong Bước 1 để nhận được một phương trình mới mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình chỉ còn một ẩn)

Bước 3. Giải phương trình mới tìm được ở Bước 2 để tìm giá trị của ẩn có mặt trong phương trình đó.

Bước 4. Thay giá trị vừa tìm được trong Bước 3 vào một trong hai phương trình của hệ đã cho để tìm giá trị của ẩn còn lại rồi kết luận nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ:

1. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 7y = 9\\5x - 3y = 1\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Trừ từng vế hai phương trình ta được \(\left( {5x - 5x} \right) + \left( { - 7y + 3y} \right) = 9 - 1\) hay \( - 4y = 8\), suy ra \(y = - 2\).

Thế \(y = - 2\) vào phương trình thứ hai ta được \(5x - 7.\left( { - 2} \right) = 9\) hay \(5x + 14 = 9\), suy ra \(x = - 1\).

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (-1;-2).

2. Hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y = 2\\ - 6x + 10y = - 4\end{array} \right.\) được giải bằng phương pháp cộng đại số như sau:

Chia hai vế của phương trình thứ hai cho 2, ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 5y = 2\\ - 3x + 5y = - 2\end{array} \right.\)

Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới ta có \(0x + 0y = 0\). Hệ này luôn thỏa mãn với các giá trị tùy ý của x và y.

Với giá trị tùy ý của x, giá trị của y được tính nhờ hệ thức \(3x - 5y = 2\), suy ra \(y = \frac{3}{5}x - \frac{2}{5}\).

Vậy hệ phương trình đã cho cho nghiệm là \(\left( {x;\frac{3}{5}x - \frac{2}{5}} \right)\) với \(x \in \mathbb{R}\).

5. Tìm nghiệm của hệ phương trình bằng máy tính cầm tay

Ta sử dụng loại máy tính cầm tay (MTCT) có chức năng này (có phím MODE/MENU). Dưới đây là hướng dẫn cụ thể với máy Fx-580VNX.

Ta viết phương trình cần giải dưới dạng \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y = {c_1}\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2}\end{array} \right.\).

Ví dụ: Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\), ta viết nó dưới dạng \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 4\\ - 2x + y = 0\end{array} \right.\).

Khi đó, ta có \({a_1} = 2\), \({b_1} = 1\), \({c_1} = 4\), \({a_2} = - 2\), \({b_2} = 1\), \({c_2} = 0\). Lần lượt thực hiện các bước sau:

Bước 1. Vào chức năng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách nhấn MENU rồi bấm phím 9 để chọn tính năng Equation/Func (Ptrình/HệPtrình).

Bấm phím 1 để chọn Simul Equation (hệ phương trình).

Cuối cùng, bấm phím 2 để giải hệ hai phương trình bậc nhất

Bước 2. Ta nhập các hệ số \({a_1},{b_1},{c_1},{a_2},{b_2},{c_2}\) bằng cách bấm

Bước 3. Sau khi nhập xong, ta bấm phím =, màn hình hiện x = 1; tiếp tục bấm =, màn hình hiện y = 3. Ta hiểu nghiệm của hệ phương trình là (-1;2).

Chú ý:

- Muốn xóa số vừa mới nhập thì bấm phím AC, muốn thay đổi số đã nhập ở vị trí nào đó thì di chuyển con trỏ đến vị trí đó rồi nhập số mới.

- Bấm phím ▲ hay ▼ để chuyển hiển thị các giá trị của x và y trong kết quả.

- Nếu máy báo Infinite Solution thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Nếu máy báo No Solution thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải câu hỏi khởi động trang 8 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Cô Dung tập thể dục mỗi buổi sáng trong 45 phút. Cô ấy kết hợp bài tập thể dục nhịp điệu để đốt cháy 12 calo mỗi phút và bài tập thể dục giãn cơ để đốt cháy 4 calo mỗi phút. Mục tiêu của cô ấy là đốt cháy hết 420 calo sau mỗi buổi tập thể dục. Hỏi cô Dung cần thực hiện mỗi bài tập thể dục nêu trên trong bao lâu để đạt mục tiêu?
Giải mục 1 trang 8, 9 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
a) Số tuổi của anh là \(x\), số tuổi của em là \(y\). Lập một hệ thức biểu diễn sự liên hệ giữa \(x\) và \(y\), biết anh lớn hơn em 5 tuổi. b) 500 kg gạo được chia thành \(x\) bao 50 kg và \(y\) bao 20 kg. Lập một hệ thức biểu diễn sự liên hệ giữa \(x\) và \(y\).
Giải mục 2 trang 10, 11, 12 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Trong phần Khởi động, gọi \(x\) (phút) và \(y\) (phút) lần lượt là thời gian cô Dung thực hiện bài thể dục nhịp điệu và bài tập thể dục giãn cơ để đạt được mục tiêu. Lập hai phương trình biểu diễn sự liên hệ giữa \(x\) và \(y\).
Giải mục 3 trang 12, 13, 14 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Xét hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 3x + 5y = - 4.\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) a) Từ phương trình (1) của hệ, biểu diễn \(x\) theo \(y\) rồi thế vào phương trình (2) để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn \(y\)). b) Giải phương trình chỉ còn một ẩn \(y\) ở câu a. c) Thay giá trị của \(y\) tìm được trong câu b vào phương trình biểu diễn \(x\) theo \(y\) trong câu a để tìm giá trị của \(x\). Kiểm
Giải mục 4 trang 14, 15, 16 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Xét hệ phương trình: (left{ begin{array}{l}2x - y = 1,,,,,,left( 1 right)\x + 3y = 4.,,,,,left( 2 right)end{array} right.) a) Viết phương trình (left( {1'} right)) thu được khi nhân hai vế của phương trình (1) với 3. b) Cộng từng vế hai phương trình (left( {1'} right)) và (2) ta được phương trình nào? c) Giải phương trình thu được trong câu b để tìm giá trị của ẩn (x). d) Thay giá trị của (x) tìm được trong câu c vào phương trình (1) hoặc (2) để tìm giá
Giải mục 5 trang 17 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Sử dụng máy tính cầm tay thích hợp, tìm nghiệm của các hệ phương trình sau: a) \(\left\{ \begin{array}{l}9x - 5y = - 11\\22x + 17y = 3;\end{array} \right.\) b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{5}x - \frac{3}{8}y = \frac{1}{4}\\ - \frac{4}{5}x + \frac{9}{8}y = \frac{7}{8}\end{array} \right.\) c) \(\left\{ \begin{array}{l}0,6x - 0,7y = 1,5\\ - 0,2x + 0,3y = - 1\end{array} \right.\)
Giải bài tập 1.8 trang 18 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Tìm ba nghiệm cho mỗi phương trình bậc nhất hai ẩn sau: a) \(5x + 7y = 10\); b) \(11x - 3y = 18\).
Giải bài tập 1.9 trang 18 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế: a) \(\left\{ \begin{array}{l}7x + y = 19\\x + 7y = - 11\end{array} \right.\) b) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 6y = - 3\\5x + 8y = 7\end{array} \right.\) c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 1\\ - 2x + 4y = - 2\end{array} \right.\)
Giải bài tập 1.10 trang 18 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x - 5y = 8\\2x - 7y = 0\end{array} \right.\) b) \(\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 6\\2x + y = 4\end{array} \right.\) c) \(\left\{ \begin{array}{l}0,3x + 0,5y = 3\\1,5x - 2y = 1,5\end{array} \right.\)
Giải bài tập 1.11 trang 18 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Giải các hệ phương trình sau: a) \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) = 4\\\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 5\end{array} \right.\) b) \(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + 2y} \right) - 4\left( {2x - y} \right) = 5\\4\left( {x + 2y} \right) + 3\left( {2x - y} \right) = 15\end{array} \right.\)
Giải bài tập 1.12 trang 18 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Sử dụng máy tính cầm tay thích hợp, tìm nghiệm của mỗi hệ phương trình sau: a) \(\left\{ \begin{array}{l}11x - 13y = - 7\\7x + 19y = 2\end{array} \right.\) b) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{8}x + \frac{3}{4}y = \frac{1}{{16}}\\ - \frac{4}{5}x + \frac{7}{5}y = \frac{1}{5}\end{array} \right.\) c) \(\left\{ \begin{array}{l}0,12x - 0,15y = - 2,4\\0,21x + 0,35y = - 3,6\end{array} \right.\)
Giải bài tập 1.13 trang 18 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Tìm các giá trị của \(m\) và \(n\) để đa thức sau bằng đa thức 0: \(P\left( x \right) = \left( {5m - 3n - 1} \right)x + m - 4n - 12\)
Giải bài tập 1.14 trang 18 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá
Xác định \(a\) và \(b\) để đồ thị của hàm số \(y = ax + b\) đi qua hai điểm \(A\) và \(B\) trong mỗi trường hợp sau: a) \(A\left( {3; - 2} \right)\) và \(B\left( { - 3;1} \right)\) b) \(A\left( {0;2} \right)\) và \(B\left( {\sqrt 3 ;2} \right)\)