Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai Toán 10 Chân trời sáng ..

Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai - SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết 1. Tam thức bậc hai

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...

A. Lý thuyết

1. Tam thức bậc hai

Đa thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là các hệ số, \(a \ne 0\) và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

Khi thay x bằng giá trị \({x_0}\) vào f(x), ta được \(f({x_0}) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c\), gọi là giá trị của tam thức bậc hai.

- Nếu \(f({x_0}) > 0\) thì ta nói \(f({x_0})\) dương tại \({x_0}\).

- Nếu \(f({x_0}) < 0\) thì ta nói \(f({x_0})\) âm tại \({x_0}\).

- Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\). Khi đó:

- Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) là nghiệm của f(x).

- Biểu thức \(\Delta = {b^2} - 4ac\) và \(\Delta ' = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x).

2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Mối quan hệ giữa dấu của tam thức bậc hai với dấu của hệ số a trong từng trường hợp của được phát biểu trong định lí về dấu của tam thức bậc hai sau đây:

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\).

- Nếu \(\Delta < 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a \(\forall x \in \mathbb{R}\).

- Nếu \(\Delta = 0\) và \({x_0} = - \frac{b}{{2a}}\) là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \ne {x_0}\).

- Nếu \(\Delta > 0\) thì tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) \(({x_1} < {x_2})\). Khi đó:

+ f(x) cùng dấu với hệ số a \(\forall x \in ( - \infty ;{x_1}) \cup ({x_2}; + \infty )\).

+ f(x) trái dấu với hệ số a \(\forall x \in ({x_1};{x_2})\).

Chú ý: Để xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\)\((a \ne 0)\), ta thực hiện các bước sau:

B1: Tính và xét dấu của biệt thức \(\Delta \).

B2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có).

B3: Xác định dấu của hệ số a.

B4: Xác định dấu của f(x).

B. Bài tập

Bài 1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 2.

A. \(3x + 2\sqrt x + 1\)

B. \( - 5{x^4} + 3{x^2} + 4\)

C. \( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\)

D. \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 2\frac{1}{x} + 3\)

Giải:

\( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\) là tam thức bậc hai với \(a = - \frac{2}{3},b = 7,c = - 4\).

\(f(2) = - \frac{2}{3}{.2^2} + 7.2 - 4 = \frac{{22}}{3} > 0\) nên f(x) dương tại x = 2.

Bài 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau đây:

a) \({x^2} + x + 1\).

b) \( - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\).

c) \(2{x^2} + 6x - 8\).

Giải:

a) \(f(x) = {x^2} + x + 1\) có \(\Delta = - 3 < 0\) và \(a = 1 > 0\) nên f(x) > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

b) \(f(x) = - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\) có \(\Delta = 0\) và \(a = - \frac{3}{2} < 0\) nên f(x) có nghiệm kép x = 3 và f(x) < 0 với mọi \(x \ne 3\).

c) Dễ thấy \(f(x) = 2{x^2} + 6x - 8\) có \(\Delta ' = 25 > 0\), a = 2 > 0 và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = - 4\), \({x_2} = 1\). Do đó ta có bảng xét dấu:

Suy ra f(x) > 0 với mọi \(x \in ( - \infty ; - 4) \cup (1; + \infty )\) và f(x) < 0 với mọi \(x \in ( - 4;1)\).

👉

Giải bài nhanh với AI Hay:

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 4 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 1 trang 6, 7 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Đồ thị của hàm số y= f(x) được biểu diễn trong hình 1 Biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x=1 Tìm biệt thức và nghiệm của các tam thức bậc hai sau:
Giải mục 2 trang 8, 9 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Quan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình thức dưới đây. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau: trong bài toán khởi động và cho biết ở khoảng cách nào tính từ đầu cầu O thì vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu
Giải bài 1 trang 9 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Đa thức nào sau đây là tam thức bậc hai?
Giải bài 2 trang 9 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Xác định giá trị của m để các đa thức sau là tam thức bậc hai
Giải bài 3 trang 10 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Dựa vào đồ thị của các hàm số bậc hai sau đây, hãy lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai tương ứng
Giải bài 4 trang 10 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Xét dấu của các tam thức bậc hai sau đây:
Giải bài 5 trang 10 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Độ cao (tính bằng mét) của một quả bóng so với vành rổ khi bóng di chuyển được x mét theo phương ngang được mô phỏng bằng hàm số
Giải bài 6 trang 10 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Một khung dây thép hình chữ nhật có chiều dài 20 cm và chiều rộng 15 cm được uốn lại thành hình chữ nhật mới có kích thước
Giải bài 7 trang 10 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Chứng minh rằng với mọi số thực m ta luôn có
Giải bài 8 trang 10 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Tìm giá trị của m để