Toán 10, giải toán lớp 10 chân trời sáng tạo Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai Toán 10 Chân trời sáng ..

Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai - SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo


A. Lý thuyết 1. Tam thức bậc hai

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...

A. Lý thuyết

1. Tam thức bậc hai

Đa thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là các hệ số, \(a \ne 0\) và x là biến số được gọi là tam thức bậc hai.

Khi thay x bằng giá trị \({x_0}\) vào f(x), ta được \(f({x_0}) = a{x_0}^2 + b{x_0} + c\), gọi là giá trị của tam thức bậc hai.

- Nếu \(f({x_0}) > 0\) thì ta nói \(f({x_0})\) dương tại \({x_0}\).

- Nếu \(f({x_0}) < 0\) thì ta nói \(f({x_0})\) âm tại \({x_0}\).

- Nếu f(x) dương (âm) tại mọi điểm x thuộc một khoảng hoặc một đoạn thì ta nói f(x) dương (âm) trên khoảng hoặc đoạn đó.

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\). Khi đó:

- Nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) là nghiệm của f(x).

- Biểu thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\) và \(\Delta ' = {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} - ac\) lần lượt là biệt thức và biệt thức thu gọn của f(x).

2. Định lí về dấu của tam thức bậc hai

Mối quan hệ giữa dấu của tam thức bậc hai  với dấu của hệ số a trong từng trường hợp của  được phát biểu trong định lí về dấu của tam thức bậc hai sau đây:

Cho tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) \((a \ne 0)\).

- Nếu \(\Delta  < 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a \(\forall x \in \mathbb{R}\).

- Nếu \(\Delta  = 0\) và \({x_0} =  - \frac{b}{{2a}}\) là nghiệm kép của f(x) thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \ne {x_0}\).

- Nếu \(\Delta  > 0\) thì tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\) và \({x_2}\) \(({x_1} < {x_2})\). Khi đó:

     + f(x) cùng dấu với hệ số a \(\forall x \in ( - \infty ;{x_1}) \cup ({x_2}; + \infty )\).

     + f(x) trái dấu với hệ số a \(\forall x \in ({x_1};{x_2})\).

Chú ý: Để xét dấu tam thức bậc hai \(f(x) = a{x^2} + bx + c\)\((a \ne 0)\), ta thực hiện các bước sau:

B1: Tính và xét dấu của biệt thức \(\Delta \).

B2: Xác định nghiệm của f(x) (nếu có).

B3: Xác định dấu của hệ số a.

B4: Xác định dấu của f(x).

 

B. Bài tập

Bài 1: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai? Nếu là tam thức bậc hai, hãy xét dấu của nó tại x = 2.

A. \(3x + 2\sqrt x  + 1\)

B. \( - 5{x^4} + 3{x^2} + 4\)

C. \( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\)

D. \({\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 2\frac{1}{x} + 3\)

Giải:

\( - \frac{2}{3}{x^2} + 7x - 4\) là tam thức bậc hai với \(a =  - \frac{2}{3},b = 7,c =  - 4\).

\(f(2) =  - \frac{2}{3}{.2^2} + 7.2 - 4 = \frac{{22}}{3} > 0\) nên f(x) dương tại x = 2.

Bài 2: Xét dấu các tam thức bậc hai sau đây:

a) \({x^2} + x + 1\).

b) \( - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\).

c) \(2{x^2} + 6x - 8\).

Giải:

a) \(f(x) = {x^2} + x + 1\) có \(\Delta  =  - 3 < 0\) và \(a = 1 > 0\) nên f(x) > 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

b) \(f(x) =  - \frac{3}{2}{x^2} + 9x - \frac{{27}}{2}\) có \(\Delta  = 0\) và \(a =  - \frac{3}{2} < 0\) nên f(x) có nghiệm kép x = 3 và f(x) < 0 với mọi \(x \ne 3\).

c) Dễ thấy \(f(x) = 2{x^2} + 6x - 8\) có \(\Delta ' = 25 > 0\), a = 2 > 0 và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - 4\), \({x_2} = 1\). Do đó ta có bảng xét dấu:

Suy ra f(x) > 0 với mọi \(x \in ( - \infty ; - 4) \cup (1; + \infty )\) và f(x) < 0 với mọi \(x \in ( - 4;1)\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store