Giải mục I trang 83, 84, 85 SGK Toán 10 tập 1 - Cánh diều

Hoạt động 1

Một vât dịch chuyển từ A đến B và tiếp tục dịch chuyển từ B đến C (Hình 49).

a) Biểu diễn vecto dịch chuyển của vật từ A đến B và từ B đến C.

b) Xác định vecto dịch chuyển tổng hợp của vật

Lời giải chi tiết:

a) vecto dịch chuyển của vật từ A đến B là \(\overrightarrow {AB} \)và từ B đến C là \(\overrightarrow {BC} \)

b) Tóm lại vật đó dịch chuyển từ A đến C, vecto dịch chuyển tổng hợp của vật là \(\overrightarrow {AC} \)

Hoạt động 2

Cho hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \). Lấy một điểm A tùy ý.

a) Vẽ \(\overrightarrow {AB}  = a\), \(\overrightarrow {BC}  = b\)

b) Tổng của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)bằng vecto nào?

Phương pháp giải:

a) Nêu cách xác định điểm B, điểm C.

b) Xác định tổng của hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \)

Lời giải chi tiết:

a) Gọi M, N lần lượt là điểm đầu và điểm cuối của vecto \(\overrightarrow a \).

Vì \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AB} \) nên tứ giác MNBA là hình bình hành.

Nói cách khác B là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow a \) và điểm A.

Tương tự, C là đỉnh thứ tư của hình bình hành tạo bởi vecto \(\overrightarrow b \) và điểm B.

b) Dễ thấy: tổng của hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) là vecto \(\overrightarrow {AC} \).

Do đó tổng của hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \)bằng vecto \(\overrightarrow {AC} \).

Ta có viết: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

LT – VD 1

Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN} \)

Phương pháp giải:

Bước 1: Chứng minh \(\overrightarrow {PB}  = \overrightarrow {NM} ;\;\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {NC} \)

Bước 2: Tính tổng \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AN} \)

Lời giải chi tiết:

Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

\( \Rightarrow MN = \frac{{AB}}{2} = PB\) và MN // PB.

\( \Rightarrow \overrightarrow {PB}  = \overrightarrow {NM} \)

Ta có: \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC} \)

Lại có: \(\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AN} \) (do N là trung điểm của AC)

Vậy \(\overrightarrow {PB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN} \)

Hoạt động 3

Cho ABCD là hình bình hành (Hình 52). So sánh:

a) Hai vecto \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BC} \).

b) Vecto tổng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) và vecto \(\overrightarrow {AC} \)

Phương pháp giải:

a) Nhận xét về giá, hướng và độ dài của hai vecto đó.

b) Thay vecto \(\overrightarrow {AD} \) bởi vecto \(\overrightarrow {BC} \)trong tổng rồi tính.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD//BC\\AD = BC\end{array} \right.\) (do tứ giác ABCD là hình bình hành)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

LT-VD 2

Hãy giải thích hướng đi của thuyền ở Hình 48.

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi tên các lực tác động lên thuyền.

Bước 2: Vận dụng quy tắc hình bình hành tính tổng hai lực.

Lời giải chi tiết:

Gọi vecto \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) là các vecto biểu diễn lực mà hai người cùng tác động lên điểm A của thuyền.

Khi đó thuyền chịu một lực là tổng hai lực kéo đó.

Vậy thuyền đi theo hướng của vecto tổng \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \)

Vẽ hình bình hành ABCD. Khi đo ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Vậy khi hai người cùng kéo, thuyền đi theo vecto đường chéo của hình bình hành tạo bởi hai lực kéo của hai người.

LT-VD 3

Cho hình bình hành ABCD và điểm E bất kì. Chứng minh: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AE} \).

Phương pháp giải:

Bước 1: Sử dụng tính chất giao hoán, ta tính: \((\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) + \overrightarrow {CE} \)

Bước 2: Vận dụng quy tắc hình bình hành, chỉ ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)từ đó suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) + \overrightarrow {CE} \) (tính chất giao hoán)

Mà theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \)

Suy ra \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AE} \)

Vậy \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CE}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AE} \) với điểm E bất kì.