Giải mục 2 trang 12, 13 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 2

Cho vectơ \(\overrightarrow u \) và đường thẳng d. A và M là hai điểm bất kì trên d. Gọi A’ và M’ lần lượt là ảnh của A và M qua phép tịnh tiến \({{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}\).

a) Hai vectơ ‘ có bằng nhau không?

b) Khi điểm M thay đổi trên d thì điểm M’ thay đổi như thế nào? Giải thích.

Phương pháp giải:

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \({{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}\left( {\rm{A}} \right) = {\rm{A'}}\), suy ra \(\overrightarrow {AA'}  = {\rm{\vec u}}\).

             \({{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}\left( {\rm{M}} \right) = {\rm{M'}}\), suy ra \(\overrightarrow {MM'}  = {\rm{\vec u}}\).

Khi đó \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {MM'} \,\,\,\left( { = {\rm{\vec u}}} \right)\).

Suy ra AA’ = MM’ và AA’ // MM’.

Vì vậy tứ giác AMM’A’ là hình bình hành.

Vậy \(\overrightarrow {{\rm{A'M'}}}  = \overrightarrow {AM} \).

b) Gọi d’ là giá của \(\overrightarrow {{\rm{A'M'}}} \).

Vì A’M’ // AM (do tứ giác AMM’A’ là hình bình hành).

Nên d’ // d.

Vậy khi điểm M thay đổi trên d thì điểm M’ thay đổi trên d’ thỏa mãn \(\overrightarrow {MM'}  = {\rm{\vec u}}\).

Thực hành 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v  = (3;2).\)

a) Biết ảnh của điểm M qua \({T_{\overrightarrow v }}\) là điểm M’(–8; 5). Tìm tọa độ điểm M.

b) Tìm ảnh của đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2}\; = {\rm{ }}4{\rm{ }}\)qua \({T_{\overrightarrow v }}\).

Phương pháp giải:

Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u \).

Nếu \(M'(x';y')\) là ảnh của \(M(x;y)\) qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\) , \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b} \right)\) thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

a) Đặt \(\;M\left( {x;{\rm{ }}y} \right).\)Suy ra \(\;\overrightarrow {MM'}  = ( - 8 - x;5 - y).\)

Theo đề, ta có \(M' = {T_{\overrightarrow v }}(M)\;.\).

Suy ra \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v .\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} - 8 - x = 3\\5 - y = 2\end{array} \right.\)

Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}\;x =  - 11\\y = 3\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ M(–11; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Đường tròn (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 4.

Gọi (C’), I’(x’; y’) lần lượt là ảnh của (C) và I qua \({T_{\overrightarrow v }}\).

Khi đó đường tròn (C’) có bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}2\) và \(\overrightarrow {II'}  = (x' - 2;y' + 3)\)

Ta có \(\;\overrightarrow {II'}  = \overrightarrow {v\;} \) (vì \(I' = {T_{\overrightarrow v }}(I)\))

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x' - 2 = 3\\y' + 3 = 2\end{array} \right.\)

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 5\\y' =  - 1\end{array} \right.\)

Suy ra tọa độ tâm đường tròn (C’) là \(I'\left( {5;{\rm{ }}-1} \right).\)

Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C’) có phương trình là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}4.\)

Vận dụng 2

Trong Hình 8, người thợ sửa xe đã dùng kích nâng thủy lực để đưa ô tô từ mặt đất đến vị trí cần thiết thông qua phép biến hình nào?

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ và suy luận để trả lời

Lời giải chi tiết:

Ta thấy ô tô được nâng từ vị trí A đến vị trí B.

Khi đó chiếc xe ô tô được tịnh tiến theo vectơ \(\vec v = \overrightarrow {AB} \)  từ mặt đất lên vị trí cần thiết.

Vậy người thợ sửa xe đã dùng kích nâng thủy lực để đưa ô tô từ mặt đất đến vị trí cần thiết thông qua phép tịnh tiến theo \(\vec v = \overrightarrow {AB} \).