Giải mục 1 trang 11 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 1

Quan sát các điểm được vẽ trên mặt phẳng tọa độ (Hình 1).

a) Có nhận xét gì về các vectơ \(\overrightarrow {AA'} ,\,\overrightarrow {BB'} ,\,...,\,\overrightarrow {EE'} \)

b) Có hay không phép biến hình biến các điểm A, B, C, D, E thành các điểm A’, B’, C’, D’, E’?

Phương pháp giải:

Quan sát hình 1, nhận xét về hướng, độ dài của các vectơ

Lời giải chi tiết:

a) Quan sát Hình 1, ta thấy các vectơ \(\overrightarrow {AA'} ,\,\overrightarrow {BB'} ,\,...,\,\overrightarrow {EE'} \) cùng hướng và có độ dài bằng nhau.

Vậy \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {EE'} \)

b) Ta đặt \({\rm{\vec u}} = \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {EE'} \)

Khi đó tồn tại phép biến hình biến điểm A thành điểm A’ sao cho \(\overrightarrow {AA'}  = {\rm{\vec u}}\)

Tương tự như vậy, ta thấy phép biến hình đó cũng biến các điểm B, C, D, E thành các điểm B’, C’, D’, E’ sao cho \(\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {EE'}  = {\rm{\vec u}}\)

Vậy có phép biến hình biến các điểm A, B, C, D, E thành các điểm A’, B’, C’, D’, E’

Thực hành 1

Chứng minh phép đồng nhất là một phép tịnh tiến.

Phương pháp giải:

Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u \).

Lời giải chi tiết:

Giả sử A’ là ảnh của A qua phép đồng nhất f. Tức là, A’ = f(A).

Suy ra \(A'{\rm{ }} \equiv {\rm{ }}A\) hay \(AA'{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Khi đó \(\overrightarrow {AA'}  = \vec 0\).

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì, ta lấy điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép đồng nhất f.

Khi đó ta cũng có \(\overrightarrow {MM'}  = \vec 0\).

Vậy phép đồng nhất là một phép tịnh tiến theo \(\vec 0\)

Vận dụng 1

Tìm độ dài vectơ tịnh tiến của phép tịnh tiến theo vectơ \({\rm{\vec v}}\) biến các điểm A, B, C, D, E thành A’, B’, C’, D’, E’ trong Hoạt động khám phá 1 (biết cạnh mỗi ô vuông là 1 đơn vị).

Phương pháp giải:

Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành  điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow u \).

Nếu \(M'(x';y')\) là ảnh của \(M(x;y)\) qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\) , \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b} \right)\) thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Từ Hoạt động khám phá 1, ta có \({\rm{\vec u}} = \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow {EE'} \).

Ta đặt \({\rm{\vec v}} = {\rm{\vec u}}\)

Khi đó phép tịnh tiến theo \({\rm{\vec v}} = {\rm{\vec u}}\) biến các điểm A, B, C, D, E thành điểm A’, B’, C’, D’, E’.

Dựng \(\Delta AA'M\) vuông tại M (như hình vẽ).

Ta có \(AM{\rm{ }} = {\rm{ }}1\) (đơn vị), \(A'M{\rm{ }} = {\rm{ }}10\) (đơn vị) (do cạnh mỗi ô vuông là 1 đơn vị).

Suy ra \(AA' = \sqrt {A{M^2} + {\rm{A'}}{{\rm{M}}^2}}  = \sqrt {{1^2} + {{10}^2}}  = \sqrt {101} \).

Khi đó \(\left| {{\rm{\vec v}}} \right| = \left| {\overrightarrow {AA'} } \right| = AA' = \sqrt {101} \)

Vậy độ dài vectơ tịnh tiến của phép tịnh tiến theo vectơ \({\rm{\vec v}}\) là \(\sqrt {101} \).