Giải bài tập 9 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho: a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất; b) Tổng bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất; c) Biểu thức (a{b^2}) đạt giá trị lớn nhất

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

Đề bài

Tìm hai số không âm a và b có tổng bằng 10 sao cho:

a) Biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất;

b) Tổng bình phương của chúng đạt giá trị nhỏ nhất;

c) Biểu thức \(a{b^2}\) đạt giá trị lớn nhất

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tìm biểu thức liên hệ của a theo b hoặc ngược lại. Sau đó lập hàm số theo a hoặc b, lập bảng biến thiên và quan sát

Lời giải chi tiết

Ta có: a, b > 0 và a + b = 10

a) Đặt: \(f(a) = ab = a(10 - a) = - {a^2} + 10a\)

\(f'(a) = - 2a + 10 = 0 \Leftrightarrow a = 5\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, \(\mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} f(a) = f(5) = 25\)

Vậy để biểu thức ab đạt giá trị lớn nhất là 25 thì a = 5 và b = 5

b) Đặt: \(f(a) = {a^2} + {b^2} = {a^2} + {(10 - a)^2} = 2{a^2} - 20a + 100\)

\(f'(a) = 4a - 20 = 0 \Leftrightarrow a = 5\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, \(\mathop {\min }\limits_{(0; + \infty )} f(a) = f(5) = 50\)

Vậy để biểu thức \({a^2} + {b^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất là 50 thì a = 5 và b = 5

c) Đặt: \(f(a) = a{b^2} = a{(10 - a)^2} = {a^3} - 20{a^2} + 100a\)

\(f'(a) = 3{a^2} - 40a + 100 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{{10}}{3}\\a = 10\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy, \(\mathop {\max }\limits_{(0; + \infty )} f(a) = f(\frac{{10}}{3}) = \frac{{4000}}{{27}}\)

Vậy để biểu thức \(a{b^2}\) đạt giá trị lớn nhất là \(\frac{{4000}}{{27}}\) thì a = \(\frac{{10}}{3}\) và b = \(\frac{{20}}{3}\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.8 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 10 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị như Hình 3. Viết công thức của hàm số
Giải bài tập 11 trang 38 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (y = frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 4). a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. b) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Giải bài tập 12 trang 38 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. b) Gọi A là giao điểm của đồ thị hàm số với trục Oy, I là giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Tìm điểm B đối xứng với A qua I. Chứng minh rằng điểm B cũng thuộc đồ thị hàm số này.
Giải bài tập 14 trang 38 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho một hình trụ nội tiếp trong hình nón có chiều cao bằng 12 cm và bán kính đáy bằng 5 cm (Hình 4a). Người ta cắt hình nón, trụ này theo mặt phẳng chứa đường thẳng nối đỉnh và tâm hình tròn đáy của hình nón thì thu được một hình phẳng như Hình 4b
Giải bài tập 13 trang 38 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x - 1}}{{x - 1}}\) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [2; 4].
Giải bài tập 15 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Trong một nhà hàng, mỗi tuần để chế biến x phần ăn (x lấy giá trị trong khoảng từ 30 đến 120) thì chi phí trung bình (đơn vị: nghìn đồng) của một phần ăn được cho bởi công thức: \(\overline C (x) = 2x - 230 + \frac{{7200}}{x}\) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số \(\overline C (x)\) trên [30; 120]. b) Từ kết quả trên, tìm số phần ăn sao cho chi phí trung bình của một phần ăn là thấp nhất.
Giải bài tập 16 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Điện trở R (\(\Omega \)) của một đoạn dây dẫn hình trụ được làm từ vật liệu có điện trở suất \(\rho \)(\(\Omega \)m), chiều dài \(\ell \)(m) và tiết diện S (\({m^2}\)) được cho bởi công thức \(R = \rho \frac{\ell }{S}\) (Vật lí 11 – Chân trời sáng tạo, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2023, trang 104) Giả sử người ta khảo sát sự biến thiên của điện trở R theo tiết diện S (ở nhiệt độ \(20^\circ C\)) của một sợi dây điện dài 10m làm từ kim loại có điện trở suất \(\rho \) và thu được đồ thị hàm
Giải bài tập 8 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm (y = frac{{ - 2x - 3}}{{4 - x}}). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A. Hàm số đồng biến trên (( - infty ); –4) và nghịch biến trên (–4; ( + infty )). B. Hàm số đồng biến trên (( - infty ); 4) và (4; ( + infty )). C. Hàm số nghịch biến trên (( - infty ); 4) và (4; ( + infty )). D. Hàm số nghịch biến trên (( - infty ); –4) và (–4; ( + infty )).
Giải bài tập 7 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{5x + 1}}\) là đường thẳng có phương trình A. \(y = - \frac{1}{5}\) B. \(y = - \frac{2}{5}\) C. \(x = - \frac{1}{5}\) D. \(x = - \frac{2}{5}\)
Giải bài tập 6 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (y = frac{{2{x^3} + 3{x^2} - 3}}{{{x^2} - 1}}) là đường thẳng có phương trình A. (y = 2x + 3) B. (y = x + 3) C. (y = 2x + 1) D. (y = x + 1)
Giải bài tập 5 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 2x + 3} \) trên đoạn [–2; 3] là A. \(\sqrt 3 \) B. \(\sqrt {30} \) C. \(\sqrt 2 \) D. 0
Giải bài tập 4 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Đạo hàm của hàm số y = f (x) là hàm số có đồ thị được cho trong Hình 2. Hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng A. (–1; 3). B. (–3; 1). C. (1; 5). D. (3; \( + \infty \)).
Giải bài tập 3 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (y = frac{{{x^2} - 4x + 1}}{{x - 4}}). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
Giải bài tập 2 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 1. Hàm số đạt cực đại tại A. x = 0. B. x = 3. C. x = 4. D. x = 5.
Giải bài tập 1 trang 37 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như Hình 1. Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng A. (5; \[ + \infty \]). B. (3; 5). C. (0; 5). D. (3; \[ + \infty \]).