Toán 12 Chân trời sáng tạo | Giải toán lớp 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân - Toán 12 Chân t..

Giải bài tập 8 trang 27 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo


Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng (a) và chiều cao bằng (h).

Đề bài

Sử dụng tích phân, tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) và chiều cao bằng \(h\).

 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chọn trục \(Ox\) sao cho \(O\) trùng với đỉnh của khối chóp.

Dựng một mặt phẳng cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\). Mặt phẳng đó cắt khối chóp \(O.ABCD\) với mặt cắt là hình vuông \(A'B'C'D'\).

Tính độ dài cạnh \(A'B'\), sau đó tính diện tích mặt cắt \(S\left( x \right) = {S_{A'B'C'D'}}\), từ đó tính thể tích khối chóp tứ giác đều \(O.ABCD\) theo công thức \(V = \int\limits_0^h {S\left( x \right)dx} \).

Lời giải chi tiết

Xét khối chóp đều \(O.ABCD\) có chiều cao \(OH = h\), độ dài cạnh đáy \(AB = a\)

Chọn trục \(Ox\) sao cho \(O\) trùng với đỉnh của khối chóp, mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\) cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(\) như hình vẽ.

Dựng một mặt phẳng cắt trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\). Mặt phẳng đó cắt khối chóp \(O.ABCD\) với mặt cắt là hình vuông \(A'B'C'D'\).

Ta có \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{{OH'}}{{OH}} = \frac{x}{h} \Rightarrow B'C' = \frac{a}{h}x\).

Diện tích mặt cắt \(A'B'C'D'\) là \(S\left( x \right) = {\left( {\frac{a}{h}x} \right)^2} = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}{x^2}\).

Vậy thể tích khối chóp đều \(O.ABCD\) là \(V = \int\limits_0^h {\left( {\frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}{x^2}} \right)dx}  = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^h = \frac{{{a^2}}}{{{h^2}}}.\frac{{{h^3}}}{3} = \frac{{{a^2}h}}{3}\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua