Giải bài tập 7 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42). Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian

Đề bài

Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình 42). Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí M cần tìm tọa độ. Như vậy, điểm M là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.

Ta xét một ví dụ cụ thể như sau:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn vệ tinh A(3; – 1; 6), B(1; 4; 8), C(7; 9; 6), D(7; – 15; 18). Tìm tọa độ của điểm M trong không gian biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm M lần lượt là MA = 6, MB = 7, MC = 12, MD = 24.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tính: Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right),\) bán kính R có là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\).

Lời giải chi tiết

Gọi M(x; y; z).

Ta có: \(MA = \sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - y} \right)}^2} + {{\left( {6 - z} \right)}^2}} = 6\);

\(MB = \sqrt {{{\left( {1 - x} \right)}^2} + {{\left( {4 - y} \right)}^2} + {{\left( {8 - z} \right)}^2}} = 7\);

\(MC = \sqrt {{{\left( {7 - x} \right)}^2} + {{\left( {9 - y} \right)}^2} + {{\left( {6 - z} \right)}^2}} = 12\);

\(MD = \sqrt {{{\left( {7 - x} \right)}^2} + {{\left( { - 15 - y} \right)}^2} + {{\left( {18 - z} \right)}^2}} = 24\).
Ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( { - 1 - y} \right)^2} + {\left( {6 - z} \right)^2} = 36\left( 1 \right)\\{\left( {1 - x} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2} + {\left( {8 - z} \right)^2} = 49\left( 2 \right)\\{\left( {7 - x} \right)^2} + {\left( {9 - y} \right)^2} + {\left( {6 - z} \right)^2} = 144\left( 3 \right)\\{\left( {7 - x} \right)^2} + {\left( { - 15 - y} \right)^2} + {\left( {18 - z} \right)^2} = 576\left( 4 \right)\end{array} \right.\)

Trừ vế với vế của (3) và (1) ta có: \({\left( {7 - x} \right)^2} - {\left( {3 - x} \right)^2} + {\left( {9 - y} \right)^2} - {\left( { - 1 - y} \right)^2} = 144 - 36\)

\( \Leftrightarrow - 8x - 20y = - 12 \Leftrightarrow x = \frac{{3 - 5y}}{2}\left( 5 \right)\).

Trừ vế với vế của (4) và (3) ta có: \({\left( { - 15 - y} \right)^2} - {\left( {9 - y} \right)^2} + {\left( {18 - z} \right)^2} - {\left( {6 - z} \right)^2} = 576 - 144\)

\( \Leftrightarrow 48y - 24z = 0 \Leftrightarrow z = 2y\left( 6 \right)\).

Thay (5) và (6) vào (2) ta có: \({\left( {1 - \frac{{3 - 5y}}{2}} \right)^2} + {\left( {4 - y} \right)^2} + {\left( {8 - 2y} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow 45{y^2} - 170y + 125 = 0 \Leftrightarrow y = 1\) hoặc \(y = \frac{{25}}{9}\).

+ Với \(y = 1\) ta có: \(x = - 1;z = 2\). Khi đó, M(-1; 1; 2). Thay tọa độ của M vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta thấy thỏa mãn.

+ Với \(y = \frac{{25}}{9}\) ta có: \(x = - \frac{{49}}{9};z = \frac{{50}}{9}\). Khi đó, \(M\left( {\frac{{ - 49}}{9};\frac{{25}}{9};\frac{{50}}{9}} \right)\). Thay tọa độ của M vào các phương trình (1) ta thấy không thỏa mãn.

Vậy điểm M(-1; 1; 2) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 6 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Lập phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau: a) (S) có tâm I(3; -7; 1) và bán kính \(R = 2\); b) (S) có tâm I(-1; 4; -5) và đi qua điểm M(3; 1; 2); c) (S) có đường kính là đoạn thẳng CD với C(1; -3; -1) và D(-3; 1; 2).
Giải bài tập 5 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x - 2y - 10z + 2 = 0\). Chứng minh rằng phương trình trên là phương trình của một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.
Giải bài tập 4 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho mặt cầu có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 7} \right)^2} = 100\). a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu. b) Mỗi điểm A(1; 1; 1), B(9; 4; 7), C(9; 9; 10) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên mặt cầu đó?
Giải bài tập 3 trang 86 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Mặt cầu (S) tâm I(-5; -2; 3) bán kính 4 có phương trình là: A. \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\). B. \({\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 16\). C. \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\). D. \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\).
Giải bài tập 2 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Bán kính của mặt cầu (S): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\) có tọa độ là A. 3. B. 9. C. 81. D. \(\sqrt 3 \).
Giải bài tập 1 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Tâm của mặt cầu (S): \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 16\) có tọa độ là: A. \(\left( { - 2; - 3;4} \right)\). B. \(\left( {2;3; - 4} \right)\). C. \(\left( {2; - 3; - 4} \right)\). D. \(\left( {2; - 3;4} \right)\).
Giải mục 3 trang 85 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Trong Ví dụ 6, giả sử người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí I(21; 35; 50) đến vị trí D (5 121; 658; 0). Tìm vị trí cuối cùng trên đoạn ID sao cho người đi biển còn có thể nhìn thấy được ánh sáng từ ngọn hải đăng.
Giải mục 2 trang 82, 83 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Cho hai điểm M(x; y; z) và I(a; b; c). a) Viết công thức tính khoảng cách giữa hai điểm M và I. b) Nêu mối liên hệ giữa x, y và z để M nằm trên mặt cầu tâm I bán kính R.
Giải mục 1 trang 81, 82 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều
Hình 38 mô tả một mặt cầu trong không gian. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của mặt cầu được lập như thế nào?
Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Cánh Diều
1. Định nghĩa mặt cầu