SBT Toán 8 - giải SBT Toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống Bài 36. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông..

Giải bài 9.47 trang 63 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống


Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng: a) (HA.HD = HB.HE = HC.HF);

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) \(HA.HD = HB.HE = HC.HF\);

b) $\Delta AFC\backsim \Delta AEB$ và $AF.AB=AE.AC\,;$

c) $\Delta BDF\backsim \Delta EDC$ và DA là tia phân giác của góc EDF.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để chứng minh: Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

+ Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên \(AD \bot BC,BE \bot AC,CF \bot AB\)

nên \(\widehat {AEB} = \widehat {BEC} = \widehat {ADB} = \widehat {ADC} = \widehat {CFA} = \widehat {CFB} = {90^0}\)

Tam giác AHE và tam giác BHD có:

\(\widehat {AEH} = \widehat {HDB} = {90^0}\) (cmt), \(\widehat {AHE} = \widehat {BHD}\) (hai góc đối đỉnh). Do đó, $\Delta AHE\backsim \Delta BHD\left( g-g \right)$

Suy ra: \(\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HE}}{{HD}}\) nên \(HA.HD = HB.HE\) (1)

Tam giác HBF và tam giác HCE có:

\(\widehat {HFB} = \widehat {HEC} = {90^0}\) (cmt), \(\widehat {BHF} = \widehat {EHC}\) (hai góc đối đỉnh). Do đó, $\Delta HBF\backsim \Delta HCE\left( g-g \right)$

Suy ra: \(\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HE}}\) nên \(HB.HE = HC.HF\) (2)

Từ (1) và (2) ta có: \(HA.HD = HB.HE = HC.HF\)

b) Tam giác AFC và tam giác AEB có:

\(\widehat {AFC} = \widehat {AEC} = {90^0},\widehat {BAC}\;chung\)

Do đó, $\Delta AFC\backsim \Delta AEB\left( g-g \right)$

Suy ra: \(\frac{{AF}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) nên \(AF.AB = AE.AC\,\)

c) Vì \(HA.HD = HB.HE\) nên \(\frac{{HA}}{{HE}} = \frac{{HB}}{{HD}}\)

Tam giác HAB và tam giác HED có: \(\frac{{HA}}{{HE}} = \frac{{HB}}{{HD}}\) (cmt), \(\widehat {AHB} = \widehat {HED}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\Delta AHB\backsim \Delta EHD\left( c-g-c \right)$, suy ra: \(\widehat {HAB} = \widehat {HED}\)

Mà \(\widehat {HAB} + \widehat {FBD} = \widehat {HED} + \widehat {DEC}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

Do đó, \(\widehat {FBD} = \widehat {DEC}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\)

Tam giác BDF và tam giác EDC có: \(\widehat {FBD} = \widehat {DEC}\) (cmt), \(\widehat {BFD} = \widehat {ECD}\) (cmt). Do đó, $\Delta BDF\backsim \Delta EDC\left( g-g \right)$

Suy ra: \(\widehat {BDF} = \widehat {EDC}\)

Mà \(\widehat {BDF} + \widehat {FDH} = \widehat {EDC} + \widehat {HDE}\left( { = {{90}^0}} \right)\)

Do đó, \(\widehat {FDH} = \widehat {HDE}\)

Vậy DA là tia phân giác của góc EDF


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 8 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store