Giải bài 9.47 trang 63 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng: a) (HA.HD = HB.HE = HC.HF);

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 8 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Khoa học tự nhiên

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau ở H. Chứng minh rằng:

a) $HA.HD = HB.HE = HC.HF$;

b) $\Delta AFC\backsim \Delta AEB$ và $AF.AB=AE.AC\,;$

c) $\Delta BDF\backsim \Delta EDC$ và DA là tia phân giác của góc EDF.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Sử dụng kiến thức trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để chứng minh: Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng với nhau.

+ Sử dụng kiến thức về trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Vì AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên $AD \bot BC,BE \bot AC,CF \bot AB$

nên $\widehat {AEB} = \widehat {BEC} = \widehat {ADB} = \widehat {ADC} = \widehat {CFA} = \widehat {CFB} = {90^0}$

Tam giác AHE và tam giác BHD có:

$\widehat {AEH} = \widehat {HDB} = {90^0}$ (cmt), $\widehat {AHE} = \widehat {BHD}$ (hai góc đối đỉnh). Do đó, $\Delta AHE\backsim \Delta BHD\left( g-g \right)$

Suy ra: $\frac{{AH}}{{BH}} = \frac{{HE}}{{HD}}$ nên $HA.HD = HB.HE$ (1)

Tam giác HBF và tam giác HCE có:

$\widehat {HFB} = \widehat {HEC} = {90^0}$ (cmt), $\widehat {BHF} = \widehat {EHC}$ (hai góc đối đỉnh). Do đó, $\Delta HBF\backsim \Delta HCE\left( g-g \right)$

Suy ra: $\frac{{HB}}{{HC}} = \frac{{HF}}{{HE}}$ nên $HB.HE = HC.HF$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $HA.HD = HB.HE = HC.HF$

b) Tam giác AFC và tam giác AEB có:

$\widehat {AFC} = \widehat {AEC} = {90^0},\widehat {BAC}\;chung$

Do đó, $\Delta AFC\backsim \Delta AEB\left( g-g \right)$

Suy ra: $\frac{{AF}}{{AE}} = \frac{{AC}}{{AB}}$ nên $AF.AB = AE.AC\,$

c) Vì $HA.HD = HB.HE$ nên $\frac{{HA}}{{HE}} = \frac{{HB}}{{HD}}$

Tam giác HAB và tam giác HED có: $\frac{{HA}}{{HE}} = \frac{{HB}}{{HD}}$ (cmt), $\widehat {AHB} = \widehat {HED}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó, $\Delta AHB\backsim \Delta EHD\left( c-g-c \right)$, suy ra: $\widehat {HAB} = \widehat {HED}$

Mà $\widehat {HAB} + \widehat {FBD} = \widehat {HED} + \widehat {DEC}\left( { = {{90}^0}} \right)$

Do đó, $\widehat {FBD} = \widehat {DEC}$

Chứng minh tương tự ta có: $\widehat {BFD} = \widehat {ECD}$

Tam giác BDF và tam giác EDC có: $\widehat {FBD} = \widehat {DEC}$ (cmt), $\widehat {BFD} = \widehat {ECD}$ (cmt). Do đó, $\Delta BDF\backsim \Delta EDC\left( g-g \right)$

Suy ra: $\widehat {BDF} = \widehat {EDC}$

Mà $\widehat {BDF} + \widehat {FDH} = \widehat {EDC} + \widehat {HDE}\left( { = {{90}^0}} \right)$

Do đó, $\widehat {FDH} = \widehat {HDE}$

Vậy DA là tia phân giác của góc EDF

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.6 trên 5 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 9.48 trang 63 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
Giải bài 9.49 trang 63 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Cho M là một điểm nằm trên cạnh BC (M nằm giữa C và H).
Giải bài 9.50 trang 64 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tứ giác ABCD như Hình 9.11. Biết rằng $\widehat {BAD} = \widehat {BDC} = {90^0},AD = 4cm,BD = 6cm$ và $BC = 9cm.$ Chứng minh rằng BC//AD.
Giải bài 9.51 trang 64 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. Chứng minh rằng:
Giải bài 9.52 trang 64 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho ABC và A’B’C’ lần lượt là các tam giác vuông tại đỉnh A và A’. Gọi M, M’ lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Chứng minh rằng:
Giải bài 9.53 trang 64 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hình vuông ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi O là giao điểm của CM và DN.
Giải bài 9.46 trang 63 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Biết rằng $AB = 6cm$ và $AC = 8cm$, hãy tính độ dài các đoạn thẳng BC, AH, BH, CH.
Giải bài 9.45 trang 63 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Từ H kẻ đường thẳng HE vuông góc với AB (E thuộc AB). Chứng minh rằng:
Giải bài 9.44 trang 63 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Hãy liệt kê ba cặp tam giác vuông trong Hình 9.10 đồng dạng và giải thích chúng đồng dạng dựa theo trường hợp nào của hai tam giác vuông đồng dạng?
Giải bài 9.43 trang 62 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC vuông cân tại A và tam giác MNP có $MN = MP = 4cm$ và $NP = 4\sqrt 2 cm$. Chứng minh rằng $\Delta ABC\backsim \Delta MNP$
Giải bài 9.42 trang 62 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Những điều kiện nào dưới đây kéo theo hai tam giác vuông đồng dạng.