Giải bài 12 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC.

Đề bài

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Lấy điểm D trên EF sao cho AD vuông góc với EF. Đường thẳng AD cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

a) $AE.AB = AF.AC$

b) $\Delta ADE\backsim \Delta AHC$ và $\Delta ANF\backsim \Delta AMB$ ($\Delta ANF\backsim \Delta AMB$ không chứng minh được vì đề bài không cho vị trí của điểm N).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc) để chứng minh: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

b) + Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh) để chứng minh: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

+ Sử dụng kiến thức về định lý (trường hợp đồng dạng góc – góc) để chứng minh: Nếu hai góc của tam giác lần lượt bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.

Lời giải chi tiết

a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên $\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}$

Vì HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC nên $HE \bot AB,HF \bot AC$

Do đó, $\widehat {HEB} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = \widehat {HFC} = {90^0}$

Tam giác HEA và tam giác BHA có:

$\widehat {HEA} = \widehat {AHB} = {90^0},\widehat {BAH}\;chung$

Do đó, $\Delta HEA\backsim \Delta BHA\left( g-g \right)$

Suy ra: $\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}$ nên $AE.AB = A{H^2}\left( 1 \right)$

Tam giác HFA và tam giác CHA có:

$\widehat {HFA} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat {CAH}\;chung$

Do đó, $\Delta HFA\backsim \Delta CHA\left( g-g \right)$

Suy ra: $\frac{{AF}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}$ nên $AF.AC = A{H^2}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) ta có: $AE.AB = AF.AC$

b) Vì $AE.AB = AF.AC$ nên $\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}$

Tam giác AEF và tam giác ACB có: $\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}},\widehat {BAC}\;chung$

Do đó, $\Delta AEF\backsim \Delta ACB\left( c-g-c \right)$, suy ra, $\widehat {AEF} = \widehat C$

Tam giác AED và tam giác ACH có:

$\widehat {ADE} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat {AEF} = \widehat C\left( {cmt} \right)$

Do đó, $\Delta ADE\backsim \Delta AHC\left( g-g \right)$

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 13 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC có $AB = 3cm,AC = 4cm,BC = 5cm.$ Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho $BD = 2cm.$
Giải bài 14 trang 83 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy $AB = 10cm,$ cạnh bên $SD = 15cm$.
Giải bài 15 trang 83 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Khảo sát trên 1 200 người trẻ tuổi ở Việt Nam với câu hỏi “Bạn sử dụng nguồn thông tin nào cho các vấn đề hiện tại?” với các lựa chọn Mạng xã hội, Internet, Ti vi, Bạn bè,
Giải bài 16 trang 83 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Một túi đựng 24 viên vi giống hệt nhau chỉ khác màu, với 9 viên bi màu đỏ, 6 viên bi màu xanh, 4 viên bi màu vàng và 5 viên bi màu đen. Bạn Mai rút ngẫu nhiên một viên bi từ túi.
Giải bài 11 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC. Giả sử M là điểm trên cạnh AB sao cho $\frac{{MB}}{{MA}} = \frac{1}{3}$, N là điểm trên cạnh BC sao cho $\frac{{NB}}{{NC}} = \frac{1}{3}.$
Giải bài 10 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AC và M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
Giải bài 9 trang 82 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Từ M kẻ đường thẳng song song với BP, đường thẳng này cắt NP tại K.
Giải bài 8 trang 81 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho hàm số $y = \left( {3m + 1} \right)x - 2m$. a) Tìm điều kiện của m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.
Giải bài 7 trang 81 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Quãng đường AC gồm hai đoạn thẳng AB và BC. Đoạn thẳng BC dài hơn đoạn thẳng AB là 60km. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60km/h,
Giải bài 6 trang 81 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho phân thức đại số $P = \frac{{{x^3} + 8}}{{{x^2} - 4}}$.
Giải bài 5 trang 81 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Thực hiện các phép tính sau: a) $\frac{{2x + 4}}{{x + 3}} + \frac{3}{x} - \frac{6}{{{x^2} + 3x}}$; b) $\frac{{{x^2} - 3x - 4}}{{{x^2} + x}}:\frac{{{x^2} - x - 12}}{{{x^2} - x}}$.
Giải bài 4 trang 81 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) ${x^3} + {y^3} + 5x + 5y$; b) $16{x^2} + 8xy + {y^2} - 4{x^2}$.
Giải bài 3 trang 81 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x. $M = {\left( {3x - 2} \right)^2} - {\left( {3x + 2} \right)^2} + {\left( {x + 2} \right)^3} + {\left( {x - 2} \right)^3} - 2{x^3}$.
Giải bài 2 trang 81 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Cho các đa thức: $A = 27{x^3}{y^6} - \frac{1}{8}{y^3};\;\;\;\;B = 9{x^2}{y^4} + \frac{3}{2}x{y^3} + \frac{1}{4}{y^2};\;\;\;C = 3x{y^2} - \frac{1}{2}y$ Chứng minh rằng $A:B = C$.
Giải bài 1 trang 81 sách bài tập toán 8 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Biết rằng hai đa thức A và B thỏa mãn các điều kiện sau: