Giải bài 9 trang 11 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Chứng minh rằng:

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).

b) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) với \(A = {\sin ^2}x\), \(B = {\cos ^2}x\)

Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).

b) Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)\) với \(A = {\sin ^2}x\), \(B = {\cos ^2}x\); Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \({\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

\( = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

Do \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), ta suy ra

\({1^2} = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x \Rightarrow {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

Bài toán được chứng minh.

b) Ta có: \({\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3} = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^3} + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\)

\( = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\)

Do \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), ta suy ra

\(1 = {\sin ^6}x + {\cos ^6}x + 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x \Rightarrow {\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - 3{\sin ^2}x{\cos ^2}x\)

Bài toán được chứng minh.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 4 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 10 trang 11 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(\tan x = - 2\). Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:
Giải bài 11 trang 11 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Tính:
Giải bài 12 trang 11 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Chứng minh rằng trong tam giác \(ABC\), ta có:
Giải bài 13 trang 11 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}\) với \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\). Tính:
Giải bài 14 trang 11 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Một vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút. Tại vị trí quan sát, bạn Linh thấy vòng quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ.
Giải bài 8 trang 11 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(\cot x = - 3\), \(\frac{\pi }{2} < x < \pi \). Tính \(\sin x\), \(\cos x\), \(\tan x\).
Giải bài 7 trang 10 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) với \(\alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)\).
Giải bài 6 trang 10 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho lục giác đều \(ABCDEF\)nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ \(A\) đến các đỉnh theo chiều ngược chiều kim đồng hồ).
Giải bài 5 trang 10 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(\tan \alpha = 2\). Giá trị của biểu thức \(A = \frac{{{{\sin }^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha + 3{{\sin }^2}\alpha }}\) bằng:
Giải bài 4 trang 10 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Kết quả thu gọn của biểu thức
Giải bài 3 trang 10 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(\tan \alpha + \cot \alpha = 2\). Khi đó \({\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha \) bằng:
Giải bài 2 trang 10 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(\cos \alpha = - \frac{2}{5}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \). Khi đó, \(\tan \alpha \) bằng:
Giải bài 1 trang 10 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Trên đường tròn lượng giác lấy điểm \(M\) sao cho \(\left( {OA,OM} \right) = {40^o}\).