Giải bài 6 trang 10 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Cho lục giác đều \(ABCDEF\)nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ \(A\) đến các đỉnh theo chiều ngược chiều kim đồng hồ).

Đề bài

Cho lục giác đều \(ABCDEF\)nội tiếp trong đường tròn lượng giác (thứ tự đi từ \(A\) đến các đỉnh theo chiều ngược chiều kim đồng hồ). Tính số đo của các góc lượng giác \(\left( {OA,OB} \right)\), \(\left( {OA,OC} \right)\), \(\left( {OA,OD} \right)\), \(\left( {OA,OE} \right)\), \(\left( {OA,OF} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Do lục giác đều \(ABCDEF\) nội tiếp trong đường tròn lượng giác tâm \(O\), nên ta có 6 góc bằng nhau: \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOF} = \widehat {FOA} = {60^o} = \frac{\pi }{3}\)

Sử dụng hệ thức Chasles để tính số đo của các góc lượng giác \(\left( {OA,OB} \right)\),\(\left( {OA,OC} \right)\), \(\left( {OA,OD} \right)\), \(\left( {OA,OE} \right)\), \(\left( {OA,OF} \right)\)

Lời giải chi tiết

Vì lục giác đều \(ABCDEF\) nội tiếp đường tròn lượng giác tâm \(O\), nên ta có 6 góc bằng nhau: \(\widehat {AOB} = \widehat {BOC} = \widehat {COD} = \widehat {DOE} = \widehat {EOF} = \widehat {FOA} = {60^o} = \frac{\pi }{3}\)

Do \(\widehat {AOB} = \frac{\pi }{3} \Rightarrow \left( {OA,OB} \right) = \frac{\pi }{3} + k2\pi \).

Áp dụng hệ thức Chasles, ta có:

\(\left( {OA,OC} \right) = \left( {OA,OB} \right) + \left( {OB,OC} \right) + k2\pi = \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{3} + k2\pi = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)

\(\left( {OA,OD} \right) = \left( {OA,OC} \right) + \left( {OC,OD} \right) + k2\pi = \frac{{2\pi }}{3} + \frac{\pi }{3} + k2\pi = \pi + k2\pi \)

\(\left( {OA,OE} \right) = \left( {OA,OD} \right) + \left( {OD,OE} \right) + k2\pi = \pi + \frac{\pi }{3} + k2\pi = \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \)

\(\left( {OA,OF} \right) = \left( {OA,OE} \right) + \left( {OE,OF} \right) + k2\pi = - \frac{{2\pi }}{3} + \frac{\pi }{3} + k2\pi = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \)