Giải bài 76 trang 107 SBT toán 10 - Cánh diều

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, \(\widehat {BAC}\) = 120°. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, điểm D thoả mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và chứng minh \(AM \bot BD\)

Đề bài

Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5, \(\widehat {BAC}\) = 120°. Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng BC, điểm D thoả mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) và chứng minh \(AM \bot BD\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ để tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

Bước 2: Sử dụng tích chất trung điểm của đoạn thẳng và tách các vectơ rồi sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ để biến đổi tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} \)

Bước 3: Chứng minh \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = 0\)rồi kết luận

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = 4.5.\cos {120^0} = - 10\)

b) Do M là trung điểm BC nên \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\); \(AD = \frac{2}{5}AC = 2\)

Xét \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)\)\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} \)

\( = \frac{1}{2}AB.AD.\cos \widehat {BAD} - \frac{1}{2}A{B^2} + \frac{1}{2}.\frac{2}{5}A{C^2} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \)

\( = \frac{1}{2}.4.2.\cos {120^0} - \frac{1}{2}{.4^2} + \frac{1}{5}{.5^2} - \frac{1}{2}.( - 10) = 0\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BD} = 0 \Rightarrow AM \bot BD\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 77 trang 107 SBT toán 10 - Cánh diều
Một người quan sát đứng ở bờ sông muốn đo độ rộng của khúc sông chỗ chảy qua vị trí đang đứng (khúc sông tương đối thẳng, có thể xem hai bờ song song
Giải bài 78 trang 107 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 4,\left| {\overrightarrow b } \right| = 5,\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {135^0}\). Tính \(\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right).\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)\)
Giải bài 79 trang 108 SBT toán 10 - Cánh diều
a) Chứng minh đẳng thức \({\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \) với \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là hai vectơ bất kì
Giải bài 80 trang 108 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho tam giác ABC có ba trung tuyến AD, BE, CF. Chứng minh rằng:
Giải bài 81 trang 108 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho tử giác ABCD. M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thoả mãn \(\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = 0\). Chứng minh rằng điểm M luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Giải bài 82 trang 108 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho tam giác ABC và đường thẳng d không có điểm chung với bất kì cạnh nào của tam giác. M là điểm thay đổi trên đường thẳng d. Xác định vị trí của M sao cho biểu thức \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải bài 75 trang 107 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho ba điểm phân biệt I, A, B và số thực k ≠ 1 thoả mãn \(\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IB} \). Chứng minh rằng với O là điểm bất kì ta có:
Giải bài 74 trang 107 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 6, CA = 7. Tính:
Giải bài 73 trang 107 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}} \right)\) (*)
Giải bài 72 trang 107 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 6, \(\widehat {BAC}\) = 60°. Tính (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị):
Giải bài 71 trang 106 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho \(\alpha \) thoả mãn \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). Tính cos\(\alpha \), tan\(\alpha \), cot\(\alpha \), sin(90° - \(\alpha \)), cos(90° - \(\alpha \)), sin(180° – \(\alpha \)),
Giải bài 70 trang 106 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho góc nhọn \(\alpha \). Biểu thức tan\(\alpha \). tan(90° - \(\alpha \)) bằng:
Giải bài 69 trang 106 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho tứ giác ABCD. Biểu thức \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} \) bằng:
Giải bài 68 trang 106 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \). Phát biểu nào sau đây là đúng?
Giải bài 67 trang 106 SBT toán 10 - Cánh diều
Cho góc nhọn \(\alpha \). Biểu thức (sin\(\alpha \). cot\(\alpha \))2 + (cos\(\alpha \) . tan\(\alpha \))2 bằng: