Giải bài 7 trang 95 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành. Gọi \(M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SA,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD\).

a)    Xác định giao điểm của đường thẳng \(NP\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

b)    Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) với các mặt phẳng \(\left( {SAB} \right),{\rm{ }}\left( {SAD} \right),{\rm{ }}\left( {SBC} \right){\rm{, }}\left( {SCD} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Xét mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(AB\) và \(NP\).

Ta có \(\left\{ E \right\} = AB \cap NP\), mà \(NP \subset \left( {MNP} \right)\) nên \(\left\{ E \right\} = \left( {SAB} \right) \cap NP\).

b)

Giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\):

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in SA \subset \left( {SAB} \right)\\M \in \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right)\).

Mặt khác, theo câu a, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\E \in NP \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right)\).

Từ đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) là đường thẳng \(ME\).

Giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\):

Trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(F\) là giao điểm của \(AD\) và \(NP\).

Vì \(F\) là giao điểm của \(AD\) và \(NP\), ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}F \in AD\\F \in NP\end{array} \right.\).

Do \(AD \subset \left( {SAD} \right)\), \(NP \subset \left( {MNP} \right)\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {SAD} \right)\\F \in \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\).

Hơn nữa, ta cũng có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in SA \subset \left( {SAD} \right)\\M \in \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) là đường thẳng \(MF\).

Giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\):

Ta có \(ME\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\)\( \Rightarrow ME \subset \left( {SAB} \right)\).

Trên mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\), gọi \(\left\{ K \right\} = ME \cap SB\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}K \in ME \subset \left( {MNP} \right)\\K \in SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow K \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

Hơn nữa, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {MNP} \right)\\N \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) là đường thẳng \(NK\).

Giao tuyến của \(\left( {MNP} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\):

Ta có \(MF\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\)\( \Rightarrow MF \subset \left( {SAD} \right)\).

Trên mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\), gọi \(\left\{ L \right\} = MF \cap SD\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}L \in MF \subset \left( {MNP} \right)\\L \in SD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow L \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

Hơn nữa, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}P \in \left( {MNP} \right)\\P \in CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow P \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right)\).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {MNP} \right)\) là đường thẳng \(LP\).