Giải bài 7 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Chứng minh rằng hàm số $f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right|$

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số $f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right|$ không có đạo hàm tại điểm ${x_0} = 2,$ nhưng có đạo hàm tại mọi điểm $x \ne 2.$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a$ thì $f'\left( {{x_0}} \right) = a.$

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

* Xét $x > 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right| = x - 2.$

Tại ${x_0} \in \left( {2; + \infty } \right)$ tùy ý, gọi $\Delta x$ là số gia của biến số tại ${x_0}.$

$\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + \Delta x - 2 - {x_0} + 2 = \Delta x.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 1 = 1.\end{array}$

$\Rightarrow f'\left( x \right) = 1.$

* Xét $x < 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right| = 2 - x.$

Tại ${x_0} \in \left( { - \infty ; - 2} \right)$ tùy ý, gọi $\Delta x$ là số gia của biến số tại ${x_0}.$

$\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = 2 - \left( {{x_0} + \Delta x} \right) + {x_0} - 2 = - \Delta x.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{ - \Delta x}}{{\Delta x}} = - 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} - 1 = - 1.\end{array}$

$\Rightarrow f'\left( x \right) = - 1.$

* Xét tại $x = 2,$ gọi $\Delta x$ là số gia của biến số tại ${x_0} = 2.$

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 1 = 1 \ne \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} - 1 = - 1.$

Suy ra không tồn tại đạo hàm của hàm số tại $x = 2.$

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 8 trang 66 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3}$ có đồ thị $\left( C \right)$ .
Giải bài 9 trang 66 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là $s\left( t \right) = \frac{1}{2}g{t^2}$
Giải bài 6 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa:
Giải bài 5 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Vận tốc tức thời của chuyển động $s = f\left( t \right)$ tại thời điểm ${t_0}$ là:
Giải bài 4 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là:
Giải bài 3 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Giải bài 2 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Điện lượng $Q$ truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian $t,{\rm{ }}Q = Q\left( t \right).$
Giải bài 1 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại ${x_0}$ là $f'\left( {{x_0}} \right)$ . Phát biểu nào sau đây là đúng?

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Cánh diều - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.