SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Cánh diều Bài 1. Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm..

Giải bài 7 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều


Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right|\)

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right|\) không có đạo hàm tại điểm \({x_0} = 2,\) nhưng có đạo hàm tại mọi điểm \(x \ne 2.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a\) thì  \(f'\left( {{x_0}} \right) = a.\)

Lời giải chi tiết

* Xét \(x > 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right| = x - 2.\)

Tại \({x_0} \in \left( {2; + \infty } \right)\) tùy ý, gọi \(\Delta x\) là số gia của biến số tại \({x_0}.\)

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + \Delta x - 2 - {x_0} + 2 = \Delta x.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 1 = 1.\end{array}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 1.\)

* Xét \(x < 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right| = 2 - x.\)

Tại \({x_0} \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\) tùy ý, gọi \(\Delta x\) là số gia của biến số tại \({x_0}.\)

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = 2 - \left( {{x_0} + \Delta x} \right) + {x_0} - 2 =  - \Delta x.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{ - \Delta x}}{{\Delta x}} =  - 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}  - 1 =  - 1.\end{array}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) =  - 1.\)

* Xét tại \(x = 2,\) gọi \(\Delta x\) là số gia của biến số tại \({x_0} = 2.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 1 = 1 \ne \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0}  - 1 =  - 1.\)

Suy ra không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x = 2.\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Cánh diều - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store