Giải bài 7 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right|\)

Đã có lời giải SGK Toán lớp 12 - Cánh diều (mới)

Đầy đủ - Chi tiết - Chính xác

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right|\) không có đạo hàm tại điểm \({x_0} = 2,\) nhưng có đạo hàm tại mọi điểm \(x \ne 2.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = a\) thì \(f'\left( {{x_0}} \right) = a.\)

Lời giải chi tiết

* Xét \(x > 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right| = x - 2.\)

Tại \({x_0} \in \left( {2; + \infty } \right)\) tùy ý, gọi \(\Delta x\) là số gia của biến số tại \({x_0}.\)

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = {x_0} + \Delta x - 2 - {x_0} + 2 = \Delta x.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta x}} = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 1 = 1.\end{array}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = 1.\)

* Xét \(x < 2 \Rightarrow f\left( x \right) = \left| {x - 2} \right| = 2 - x.\)

Tại \({x_0} \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\) tùy ý, gọi \(\Delta x\) là số gia của biến số tại \({x_0}.\)

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right) = 2 - \left( {{x_0} + \Delta x} \right) + {x_0} - 2 = - \Delta x.\\ \Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{ - \Delta x}}{{\Delta x}} = - 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} - 1 = - 1.\end{array}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = - 1.\)

* Xét tại \(x = 2,\) gọi \(\Delta x\) là số gia của biến số tại \({x_0} = 2.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} 1 = 1 \ne \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} - 1 = - 1.\)

Suy ra không tồn tại đạo hàm của hàm số tại \(x = 2.\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 8 trang 66 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
Giải bài 9 trang 66 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là \(s\left( t \right) = \frac{1}{2}g{t^2}\)
Giải bài 6 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau bằng định nghĩa:
Giải bài 5 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Vận tốc tức thời của chuyển động \(s = f\left( t \right)\) tại thời điểm \({t_0}\) là:
Giải bài 4 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) là:
Giải bài 3 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Giải bài 2 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Điện lượng \(Q\) truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian \(t,{\rm{ }}Q = Q\left( t \right).\)
Giải bài 1 trang 65 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm tại \({x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right)\). Phát biểu nào sau đây là đúng?