Giải bài 6 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Chứng minh nn>(n+1)n−1nn>(n+1)n−1 với mọi n∈N∗,n≥2.
Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Cánh diều
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...
Đề bài
Chứng minh nn>(n+1)n−1 với mọi n∈N∗,n≥2.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với n≥p
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với n=p
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên n=k≥p và chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1. Kết luận.
Lời giải chi tiết
Bước 1: Khi n=2 ta có 22>(2+1)2−1 hay 4>3hiển nhiên đúng
Như vậy bất đẳng thức đúng với n=2
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà bất đẳng thức đúng, ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với k+1, tức là:
(k+1)k+1>(k+1+1)k+1−1 hay (k+1)k+1>(k+2)k
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
kk>(k+1)k−1
Suy ra
kk(k+1)k+1>(k+1)k−1(k+1)k+1=(k+1)k−1+k+1=(k+1)2k
Mà (k+1)2k=[(k+1)2]k=(k2+2k+1)k>(k2+2k)k
⇒kk(k+1)k+1>(k2+2k)k=[k.(k+2)]k=kk.(k+2)k
⇒(k+1)k+1>(k+2)k
Vậy bất đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi n∈N∗.
- Giải bài 7 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 8 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 9 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 10 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
- Giải bài 11 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
>> Xem thêm
Các bài khác cùng chuyên mục