Giải bài 6 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

**Chứng minh \({n^n} > {(n + 1)^{n - 1}}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*,n \ge 2.\)**

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Chứng minh \({n^n} > {(n + 1)^{n - 1}}\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*,n \ge 2.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phương pháp quy nạp: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n \ge p\)

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = p\)

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge p\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Khi \(n = 2\) ta có \({2^2} > {(2 + 1)^{2 - 1}}\) hay \(4 > 3\)hiển nhiên đúng

Như vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 2\)

Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà bất đẳng thức đúng, ta phải chứng minh bất đẳng thức đúng với k+1, tức là:

\({(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 1 + 1)^{k + 1 - 1}}\) hay \({(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 2)^k}\)

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

\({k^k} > {(k + 1)^{k - 1}}\)

Suy ra

\({k^k}{(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 1)^{k - 1}}{(k + 1)^{k + 1}} = {(k + 1)^{k - 1 + k + 1}} = {(k + 1)^{2k}}\)

Mà \({(k + 1)^{2k}} = {\left[ {{{(k + 1)}^2}} \right]^k} = {\left( {{k^2} + 2k + 1} \right)^k} > {\left( {{k^2} + 2k} \right)^k}\)

\( \Rightarrow {k^k}{(k + 1)^{k + 1}} > {\left( {{k^2} + 2k} \right)^k} = {\left[ {k.(k + 2)} \right]^k} = {k^k}.{(k + 2)^k}\)

\( \Rightarrow {(k + 1)^{k + 1}} > {(k + 2)^k}\)

Vậy bất đẳng thức đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.7 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 7 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Chứng minh \({a^n} - {b^n} = (a - b)({a^{n - 1}} + {a^{n - 2}}b + ... + a{b^{n - 2}} + {b^{n - 1}})\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*\)
Giải bài 8 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Cho tam giác đều màu xanh (Hình thứ nhất)
Giải bài 9 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Quan sát Hình 6
Giải bài 10 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/ năm. Hết năm đầu, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa
Giải bài 11 trang 30 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng.
Giải bài 5 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*\), ta có:
Giải bài 4 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Cho q là số thực khác 1.
Giải bài 3 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Cho \({S_n} = \frac{1}{{1.5}} + \frac{1}{{5.9}} + \frac{1}{{9.13}} + ... + \frac{1}{{(4n - 3)(4n + 1)}}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
Giải bài 2 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Cho \({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^n}}}\) và \({T_n} = 2 - \frac{1}{{{2^n}}}\), với \(n \in \mathbb{N}*\)
Giải bài 1 trang 29 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Cho \({S_n} = 1 + 2 + {2^2} + ... + {2^n}\) và \({T_n} = {2^{n + 1}} - 1\), với \(n \in \mathbb{N}*\)
Giải mục 2 trang 25, 26 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Chứng minh với mọi \(n \in \mathbb{N}*,{(1 + \sqrt 2 )^n},{(1 - \sqrt 2 )^n}\) lần lượt viết được ở dạng \({a_n} + {b_n}\sqrt 2 ,{a_n} - {b_n}\sqrt 2 ,\) trong đó \({a_n},{b_n}\) là các số nguyên dương.
Giải mục 1 trang 23, 24, 25 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, lấy ra hình vuông nhỏ thứ nhất (ở góc dưới bên trái, màu đỏ), cạnh của hình vuông đó bằng (frac{1}{2}.)