Giải bài 58 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\); \(P\), \(Q\)

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\); \(P\), \(Q\) lần lượt thuộc các cạnh \(CD\), \(BC\) (\(P\), \(Q\) không là trung điểm của \(CD\), \(BC\)). Chứng minh rằng nếu \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) cùng thuộc một mặt phẳng thì ba đường thẳng \(MQ\), \(NP\) và \(AC\) cùng đi qua một điểm.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(AC\). Ta suy ra rằng \(I\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), từ đó suy ra \(I \in MQ\) và điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Xét \(\left( {ADC} \right)\), do \(P\) không là trung điểm của \(CD\), nên đường thẳng \(NP\) cắt đường thẳng \(AC\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(NP\) và \(AC\).

Ta có \(I \in \left( {MNPQ} \right)\) (do \(I\) nằm trên \(NP\)) và \(I \in \left( {ABC} \right)\) (do \(I\) nằm trên \(AC\)). Như vậy \(I\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

Ta nhận thấy rằng \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {MNPQ} \right)\\M \in AB \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right)\), và

\(\left\{ \begin{array}{l}Q \in \left( {MNPQ} \right)\\Q \in BC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow Q \in \left( {MNPQ} \right) \cap \left( {ABC} \right)\).

Do đó giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là đường thẳng \(MQ\).

Mà \(I\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {MNPQ} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\), nên \(I \in MQ\).

Vậy \(MQ\), \(NP\) và \(AC\) cùng đi qua điểm \(I\).

Bài toán được chứng minh.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 59 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\), \(AD\); \(P\), \(Q\)
Giải bài 60 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\), \(B'C'\).
Giải bài 61 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy là hình bình hành. Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của \(SB\), \(BC\), \(CD\).
Giải bài 62 trang 118, 119 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\), \(N\), \(P\) lần lượt là trung điểm của \(AD\), \(B'C'\), \(DD'\).
Giải bài 57 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SD\).
Giải bài 56 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho mặt phẳng \(\left( P \right)\), ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) không thẳng hàng và không nằm trên \(\left( P \right)\).
Giải bài 55 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho tứ diện \(ABCD\). Trên cạnh \(CD\) lấy hai điểm \(M\) và \(N\) khác nhau
Giải bài 54 trang 118 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho tứ diện \(ABCD\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(MB = 2MC\).