Giải bài 5.24 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó. a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4z + 2 = 0\). b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y + 2z + 7 = 0\). c) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 12x - 6y + 6z + 2 = 0\)

Đề bài

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4z + 2 = 0\).

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y + 2z + 7 = 0\).

c) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 12x - 6y + 6z + 2 = 0\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Xét dạng phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

Nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) phương trình là phương trình mặt cầu, có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Ý b: Xét dạng phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

Nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) phương trình là phương trình mặt cầu, có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Ý c: Xét dạng phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

Nếu \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\) phương trình là phương trình mặt cầu, có tâm \(\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Lời giải chi tiết

a) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

Xét phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 4z + 2 = 0\), ta có \(a = - 1,b = 0,c = 2,d = 2\).

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 4 - 2 = 3 > 0\), do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.

Mặt cầu có tâm \(\left( { - 1;0;2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 3 \).

b) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

Xét phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 2y + 2z + 7 = 0\), ta có \(a = 1,b = - 1,c = - 1,d = 7\).

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 1 + 1 + 1 - 7 = - 4 < 0\), do đó phương trình đã cho không là phương trình mặt

cầu.

c) Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\).

Xét phương trình \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 12x - 6y + 6z + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 2y + 2z + \frac{2}{3} = 0\).

Ta có \(a = - 2,b = 1,c = - 1,d = \frac{2}{3}\).

Suy ra \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = 4 + 1 + 1 - \frac{2}{3} = \frac{{16}}{3} > 0\), do đó phương trình đã cho là phương trình mặt cầu.

Mặt cầu có tâm \(\left( { - 2;1; - 1} \right)\) và bán kính \(R = \frac{4}{{\sqrt 3 }}\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 5.25 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {1;2;1} \right)\) và \(B\left( { - 1; - 2;3} \right)\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc thuộc trục Ox và (S) đi qua hai điểm A và B.
Giải bài 5.26 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} = 1\). Từ vị trí \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\), người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng \(\overrightarrow v = \left( {2;2; - 3} \right)\). Tính độ dài đường hầm cần đào.
Giải bài 5.27 trang 35 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một quả bóng hình cầu có bán kính 2 m được treo lơ lửng trên một mặt đất phẳng. Tâm quả bóng cách mặt đất 10 m. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O là hình chiếu vuông góc của tâm quả cầu trên mặt đất, tia Oz chứa tâm của quả cầu, các trục Ox, Oy thuộc mặt đất như hình vẽ.
Giải bài 5.23 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\) và điểm \(A\left( {2;2; - 1} \right)\). a) Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S). b) Chứng minh rằng điểm A nằm trong mặt cầu (S).
Giải bài 5.22 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Đề bài Trong không gian Oxyz, cho điểm \(I\left( {2; - 1;2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y + 2z - 10 = 0\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là I và tiếp xúc với mặt phẳng (P).
Giải bài 5.21 trang 34 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm (Aleft( {2;1;1} right)) và (Bleft( {2;1;3} right)). a) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB. b) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ (Oleft( {0;0;0} right)) và mặt cầu (S) đi qua A.