Giải bài 46 trang 92 SBT toán 10 - Cánh diều


Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh đôi một khác nhau. Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, D là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HD} \)

Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh đôi một khác nhau. Gọi H, O lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác, D là điểm đối xứng với H qua O. Chứng minh \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow {HD} \)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Lấy E đối xứng với A qua O

Bước 2: Chứng minh các tứ giác ADEH, BHCE là hình bình hành

Bước 3: Áp dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow {HD} \)

Lời giải chi tiết

Gọi E là điểm đối xứng với A qua O . Khi đó AE là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC

Tứ giác ADEH O là trung điểm HDAE nên là hình bình hành

\( \Rightarrow \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HE}  = \overrightarrow {HD} \)(1)

Lại có: \(\widehat {ACE}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ACE} = {90^0}\)\( \Rightarrow EC \bot AC\), mà \(BH \bot AC\)

\( \Rightarrow EC//BH\)

Chứng minh tương tự ta có \(BE//HC\)

Tứ giác BHCE có \(EC//BH\), \(BE//HC\) nên là hình bình hành

\( \Rightarrow \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow {HE} \)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HE}  = \overrightarrow {HD} \) (ĐPCM)

 


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Cánh diều - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí