Bài 41* trang 162 SBT toán 9 tập 1


Giải bài 41* trang 162 sách bài tập toán 9. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A đến B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:...

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm \(O,\) đường kính \(AB.\) Qua điểm \(C\) thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến \(d\) của đường tròn. Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến \(B\) đến \(d.\) Gọi \(H\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(C\) đến \(AB.\) Chứng minh rằng:

\(a)\) \(CE = CF;\)

\(b)\) \(AC\) là tia phân giác của góc \(BAE;\)

\(c)\)  \(CH^2 = AE.BF\). 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Trong tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông lên cạnh huyền.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Ta có: \(OC ⊥d\) ( tính chất tiếp tuyến)

\(AE ⊥ d\;\; (gt)\)

\(BF ⊥ d \;\;(gt)\)

Suy ra:  \(OC // AE // BF \;\;(*)\)

Mà  \(OA = OB (=R)\)

Suy ra: \( CE = CF\) (tính chất đường thẳng song cách đều)

\(b)\) Ta có: \(AE // OC\) (theo \((*)\))

Suy ra:  \(\widehat {OCA} = \widehat {EAC}\) ( hai góc so le trong)      \((1)\)

Ta có: \(OA = OC (=R)\)

Suy ra: \(∆OAC\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow \widehat {OCA} = \widehat {OAC}\)  \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\widehat {EAC} = \widehat {OAC}\)

Vậy \(AC\) là tia phân giác của góc \(OAE\) hay \(AC\) là tia phân giác của góc \(BAE.\)

\(c)\) Tam giác \(ABC\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \)

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) có \(CH ⊥ AB.\)

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

\(C{H^2} = HA.HB\;\; (3)\)

Xét hai tam giác \(ACH\) và \(ACE,\) ta có:

+) \(\widehat {AEC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)

+) \(CH = CE\) (tính chất đường phân giác)

+) \(AC\) chung

Suy ra:   \(∆ACH = ∆ACE\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra:   \(AH = AE\;\;(4)\)

Xét hai tam giác \(BCH\) và \(BEF,\) ta có:

+) \(\widehat {BHC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \)

+) \(CH = CF (= CE)\)

+) \(BC \) chung

Suy ra: \(∆BCH = ∆BCF\) (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

Suy ra:       \(BH = BF  \;\;(5)\)

Từ \((3),\) \((4)\) và \((5)\) suy ra: \(C{H^2} = AE.BF\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.5 trên 18 phiếu
  • Bài 4.1 phần bài tập bổ sung trang 163 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 4.1 phần bài tập bổ sung trang 163 sách bài tập toán 9. Cho đoạn thẳng AB. Đường tròn (O) đường kính 2cm tiếp xúc với đường thẳng AB. Tâm O nằm trên...

  • Bài 4.2 phần bài tập bổ sung trang 163 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 4.2 phần bài tập bổ sung trang 163 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O ; 2cm), điểm A di chuyển trên đường tròn. Trên tiếp tuyến tại A, lấy điểm M sao cho AM = OA. Điểm M chuyển động trên đường nào ?

  • Bài 4.3 phần bài tập bổ sung trang 163 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 4.3 phần bài tập bổ sung trang 163 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O ; 15cm), dây AB = 24cm. Một tiếp tuyến song song với AB cắt các tia OA, OB theo thứ tự ở E, F. Tính độ dài EF.

  • Bài 40 trang 162 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 40 trang 162 sách bài tập toán 9. Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA...

  • Bài 39 trang 162 SBT toán 9 tập 1

    Giải bài 39 trang 162 sách bài tập toán 9. Cho hình thang vuông ABCD...

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí