Giải bài 4 trang 13 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Tìm phương trình của parabol \((P):y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\)biết:

Đề bài

Tìm phương trình của parabol \((P):y = a{x^2} + bx + c\;(a \ne 0)\)biết:

a) (P) có trục đối xứng \(x = 1\) và đi qua hai điểm \(A(1; - 4),B(2; - 3).\)

b) (P) có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right)\) và đi qua điểm \(M( - 1;3)\)

Lời giải chi tiết

Trục đối xứng \(x = - \frac{b}{{2a}}\)

Đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\) với \(\Delta = {b^2} - 4ac\)

Lời giải chi tiết

a) (P) có trục đối xứng \(x = 1 \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a + b = 0\quad (1)\)

Thay tọa độ 2 điểm \(A(1; - 4),B(2; - 3)\) vào phương trình của parabol, kết hợp (1) ta được hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2a + b = 0\quad (1)\\a + b + c = - 4\quad \;(2)\\4a + 2b + c = - 3\quad (3)\end{array} \right.\)

Sử dụng máy tính cầm tay, ta suy ra \(a = 1,b = - 2,c = - 3\)

Vậy phương trình của parabpol (P) là \(y = {x^2} - 2x - 3\)

b) (P) có đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{4}} \right) \Rightarrow - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2}\quad (1)\;; - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = \frac{3}{4}\quad (2)\)

\((1) \Leftrightarrow a + b = 0\) Thay \(b = - a\) vào (2) ta được: \((2) \Leftrightarrow {a^2} - 4ac = - 3a \Leftrightarrow a - 4c = - 3\) (do \(a \ne 0\))

Thay tọa độ điểm \(M( - 1;3)\) vào phương trình của parabol, ta được: \(a - b + c = 3\)

Kết hợp (1) và (2) ta được hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\quad (1)\\a - 4c = - 3\quad \;(2)\\a - b + c = 3\quad (3)\end{array} \right.\)

Sử dụng máy tính cầm tay, ta suy ra \(a = 1,b = - 1,c = 1\)

Vậy phương trình của parabpol (P) là \(y = {x^2} - x + 1\)