Giải bài 2 trang 13 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

Đề bài

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\\x - 3y = 2\\2x + y - z = 3\end{array} \right.\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\\x + 3y + 2z = 8\\3x - y + z = 4\end{array} \right.\)

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z = - 2\\2x + y + 4z = 2\\x + 2y - z = 4\end{array} \right.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Biến đổi hệ về một hệ đơn giản hơn bằng cách:

+ Nhân hai vế của một PT với một số khác 0

+ Đổi vị trí hai phương trình của hệ

+ Cộng mỗi vế của PT (sau khi nhân) với vế tương ứn của PT khác để được PT có số ẩn ít hơn.

Lời giải chi tiết

a) \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\quad (1)\\x - 3y = 2\quad (2)\\2x + y - z = 3\quad (3)\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 4\quad (1)\\3x = 6\quad \quad \quad (2.1)\\2x + y - z = 3\quad (3)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (2.1) ta có \(x = 2\)

Thay \(x = 2\) vào phương trình (1) ta được \(y = 0\)

Thay \(x = 2\) và \(y = 0\) vào phương trình (3) ta được \(z = 1\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là \(\left( {2;0;1} \right)\)

b) \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\x + 3y + 2z = 8\;\;\quad (2)\\3x - y + z = 4\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (1) với -1, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) và (3) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6\;\;\quad (2.1)\\3x - y + z = 4\quad \;\;\,(3)\end{array} \right.\)

Nhân hai vế của phương trình (1) với -3, cộng vế với vế của phương trình nhận được với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6\;\;\quad (2.1)\\ - 4y - 2z = - 2\quad \;\;\,(3.1)\end{array} \right.\)

Rút gọn phương trình (3.1) thành phương trình (3.2) bằng cách chia hai vế cho -2:

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + z = 2\quad \quad (1)\\2y + z = 6\;\;\quad (2.1)\\2y + z = 1\quad \;\;\,(3.2)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (2.1) và (3.2) suy ra 6 = 1 (Vô lí)

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) \(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z = - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad \;(2)\\x + 2y - z = 4\quad (3)\end{array} \right.\)

Cộng vế với vế của phương trình (1) với phương trình (3), giữ nguyên phương trình (1) và (2) ta được hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z = - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad \;(2)\\2x + y + 4z = 2\quad (3.1)\end{array} \right.\)

Hai phương trình (2.1) và (3.1) giống nhau, nên có thể viết hệ phương trình thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - y + 5z = - 2\quad \quad (1)\\2x + y + 4z = 2\quad \;(2)\end{array} \right.\)

Từ phương trình (1), ta có \(y = x + 5z + 2\) (4), thay vào phương trình (2) ta được \(2x + \left( {x + 5z + 2} \right) + 4z = 2 \Leftrightarrow 3x + 9z = 0 \Leftrightarrow x = - 3z\)

Thay vào (4), được: \(y = 2z + 2\)

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng \(( - 3z;2z + 2;z)\) với \(z \in \mathbb{R}\).