Giải bài 4 trang 65 Chuyên đề học tập Toán 10 – Chân trời sáng tạo


Cho đường thẳng (d:x - y + 1 = 0) và điểm (F(1;1)). Viết phương trình của đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:

Đề bài

Cho đường thẳng \(d:x - y + 1 = 0\) và điểm \(F(1;1)\). Viết phương trình của đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:

a) \(e = \frac{1}{2}\)

b) \(e = 1\)

c) \(e = 2\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Xác định loại đường conic dựa vào tâm sai e:

+ \(0 < e < 1\) thì conic là đường elip

+ \(e = 1\) thì conic là đường parabol

+ \(e > 1\) thì conic là đường hypebol

Bước 2: Tìm tập hợp các điểm M sao cho \(\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = e\)

Từ đó kết luận phương trình đường conic.

Lời giải chi tiết

a) Đường conic có tâm sai \(e = \frac{1}{2} < 1\) nên là đường elip.

Điểm \(M(x,y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} }}{{\frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt 2 \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \left| {x + y - 1} \right|\\ \Leftrightarrow 8{\left( {x - 1} \right)^2} + 8{\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x + y - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 7{y^2} - 14x - 14y - 2xy + 15 = 0\end{array}\)

Vậy phương trình đường elip là \(7{x^2} + 7{y^2} - 14x - 14y - 2xy + 15 = 0\)

b) Đường conic có tâm sai \(e = 1\) nên là đường parabol

Điểm \(M(x,y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} }}{{\frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}}} = 1\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = \left| {x + y - 1} \right|\\ \Leftrightarrow 2{\left( {x - 1} \right)^2} + 2{\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x + y - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2xy + 3 = 0\end{array}\)

Vậy phương trình đường parabol là \({x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2xy + 3 = 0\)

c) Đường conic có tâm sai \(e = 2 > 1\) nên là đường hypebol.

Điểm \(M(x,y)\) thuộc đường conic khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\frac{{MF}}{{d(M,\Delta )}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} }}{{\frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }}}} = 2\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sqrt {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}  = 2\left| {x + y - 1} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 2{\left( {x + y - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y + 4xy = 0\end{array}\)

Vậy phương trình đường hypebol là \(7{x^2} + 7{y^2} - 14x - 14y - 2xy + 15 = 0\)

 

 


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí