Giải bài 30 trang 100 sách bài tập toán 8 - Cánh diều

Cho hình thoi \(ABCD\) có \(AB = 2\)cm, \(\widehat A = \frac{1}{2}\widehat B\). Các điểm \(H,K\) thay đổi lần lượt trên cạnh \(AD,CD\)

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 8 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Khoa học tự nhiên

Đề bài

Cho hình thoi \(ABCD\) có \(AB = 2\)cm, \(\widehat A = \frac{1}{2}\widehat B\). Các điểm \(H,K\) thay đổi lần lượt trên cạnh \(AD,CD\) sao cho \(\widehat {HBK} = 60^\circ \).

a) Chứng minh \(DH + DK\) không đổi

b) Xác định vị trí của các điểm \(H,K\) để độ dài \(HK\) ngắn nhất. Tính độ dài ngắn nhất đó.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào tính chất của hình thoi:

Trong một hình thoi:

- Các cạnh đối song song

- Các góc đối bằng nhau

- Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc ở đỉnh.

Lời giải chi tiết

a) Do \(ABCD\) là hình thoi nên \(AB = DA = 2cm,\widehat {ABD} = \widehat {CDB} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\)

Mà \(\widehat {BAD} = \frac{1}{2}\widehat {ABC}\), suy ra \(\widehat {BAD} = \widehat {ABD}\). Do đó tam giác \(ABD\) cân tại \(D\). Suy ra \(DA = DB\).

Mà \(AB = DA\), suy ra \(AB = DA = DB\).

\(\Delta ABH = \Delta DBK\) (g.c.g). Suy ra \(AH = DK\). Do đó \(DH + DK = DH + AH = AD\).

Vậy \(DH + DK\) không đổi

b) Do \(\Delta ABH = \Delta DBk\) nên \(BH = BK\).

Tam giác \(BHK\) có \(BH = BK\) và \(\widehat {HBK} = 60^\circ \) nên tam giác \(BHK\) là tam giác đều.

Suy ra \(HK = BH = BK\).

Do đó, độ dài \(HK\) ngắn nhất khi \(BH\) và \(BK\) ngắn nhất. Vậy \(H,K\) lần lượt là hình chiếu của \(B\) trên \(AD,CD\).

Khi đó \(\Delta ABH = \Delta DBH\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra \(AH = DH = \frac{{AD}}{2} = 1cm\)

Trong tam giác \(ABH\) vuông tại \(H\), ta có: \(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\). Suy ra ta tính được \(BH = \sqrt 3 cm\). Vậy độ dài ngắn nhất của \(HK\) là \(\sqrt 3 \) cm.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.9 trên 8 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 29 trang 100 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
Cho góc \(xOy\) khác góc bẹt. Dùng thước hai lề (thước có hai cạnh song song). Đặt thước hai lề sao cho một cạnh của thước trùng với cạnh \(Ox\) của góc \(xOy\),
Giải bài 28 trang 100 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
Cho tam giác \(ABC\) nhọn có các đường cao \(BD,CE\). Tia phân giác của các góc \(ACE,ABD\) cắt nhau tại \(O\) và cắt \(AB,AC\) lần lượt tại \(M,N\).
Giải bài 27 trang 99 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo là (frac{{18}}{5}) m và (frac{{27}}{{10}}) m. Tính chu vi và diện tích của hình thoi đó.
Giải bài 26 trang 99 sách bài tập toán 8 - Cánh diều
Cho hình thoi (ABCD) có góc (B) tù. Kẻ (BE) vuông góc (AD) tại (E), (BF) vuông góc với (CD) tại (F).