Giải bài 3 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều

Chứng minh \(C_n^0{3^n} + C_n^1{3^{n - 1}} + ... + C_n^k{3^{n - k}} + ... + C_n^{n - 1}3 + C_n^n\)

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Chứng minh \(C_n^0{3^n} + C_n^1{3^{n - 1}} + ... + C_n^k{3^{n - k}} + ... + C_n^{n - 1}3 + C_n^n\)

\( = C_n^03 + C_n^13 + ... + C_n^k{3^k} + ... + C_n^{n - 1}{3^{n - 1}} + C_n^n{.3^n}\) với \(0 \le k \le n,n \in \mathbb{N}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Công thức nhị thức Newton: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\)

Lời giải chi tiết

Áp dụng công thức nhị thức Newton ta có:

\({\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0.{a^n}.{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}.{b^1} + ... + C_n^k{a^{n - k}}.{b^k} + ... + C_n^{n - 1}a.{b^{n - 1}} + C_n^n.{a^0}.{b^n}\)

Thay \(a = 3,b = 1\) ta được

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {3 + 1} \right)^n} = C_n^0{.3^n}{.1^0} + C_n^1{3^{n - 1}}{.1^1} + ... + C_n^k{3^{n - k}}{.1^k} + ... + C_n^{n - 1}{3.1^{n - 1}} + C_n^n{.3^0}{.1^n}\\ \Rightarrow {4^n} = C_n^0{3^n} + C_n^1{3^{n - 1}} + ... + C_n^k{3^{n - k}} + ... + C_n^{n - 1}3 + C_n^n\end{array}\)

Thay \(a = 1,b = 3\) ta được

\(\begin{array}{l}{\left( {1 + 3} \right)^n} = C_n^0{.1^n}{.3^0} + C_n^1{1^{n - 1}}{.3^1} + ... + C_n^k{1^{n - k}}{.3^k} + ... + C_n^{n - 1}{1.3^{n - 1}} + C_n^n{.1^0}{.3^n}\\ \Rightarrow {4^n} = C_n^03 + C_n^13 + ... + C_n^k{3^k} + ... + C_n^{n - 1}{3^{n - 1}} + C_n^n{.3^n}\end{array}\)

Suy ra điều phải chứng minh

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.6 trên 5 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 4 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Xác định hệ số của:
Giải bài 5 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Xét khai triển \({\left( {x + \frac{5}{2}} \right)^{12}}\)
Giải bài 6 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Xét khai triển \({\left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{5}} \right)^{21}}\)
Giải bài 7 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của:
Giải bài 8 trang 38 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp: \({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\) với \(n \in \mathbb{N}*\)
Giải mục 3 trang 35, 36 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Xét dãy các hệ số trong khai triển nhị thức ({(a + b)^4}) (Hình 7a) và nhị thức ({(a + b)^5}) (Hình 7b) sau:
Giải bài 9 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh:
Giải bài 10 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Cho tập hợp \(A = \left\{ {{x_1};{x_2};{x_3};...;{x_n}} \right\}\) có n phần tử. Tính số tập hợp con của A
Giải bài 11 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Một nhóm gồm 10 học sinh tham gia chiến dịch Mùa hè xanh. Nhà trường muốn chọn ra một đội công tác có ít nhất hai học sinh trong những học sinh trên. Hỏi có bao nhiêu cách lập đội công tác như thế?
Giải bài 12 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Để tham gia một cuộc thi làm bánh, bạn Tiến làm 12 chiếc bánh có màu khác nhau và chọn ra số nguyên dương chẵn chiếc bánh để cho vào một hộp trưng bày. Hỏi bạn Tiến có bao nhiêu cách chọn bánh cho vào hộp trung bày đó?
Giải bài 13 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Bác Thành muốn mua quà cho con nhân dịp sinh nhật nên đã đến một cửa hàng đồ chơi.
Giải bài 14 trang 39 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Giả sử tình trạng ở một loài cây được quy định do tác động cộng gộp của n cặp alen phân li độc lập \({A_1}{a_1},A{ & _2}{a_2},...,{A_n}{a_n}\).
Giải bài 2 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Tính: a) \(S = C_{2022}^0{9^{2022}} + C_{2022}^1{9^{2021}} + ... + C_{2022}^k{9^{2022 - k}} + ... + C_{2022}^{2021}9 + C_{2022}^{2022}\)
Giải bài 1 trang 37 Chuyên đề học tập Toán 10 – Cánh diều
Khai triển biểu thức:
Giải mục 2 trang 34 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
Từ các đẳng thức như
Giải mục 1 trang 31, 32 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều
a) Quan sát khai triển biểu thức sau: