Giải bài 21 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều

Dùng đạo hàm của hàm số, hãy giải thích: a) Hàm số $y = {a^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a > 1$, nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0 < a < 1$. b) Hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ khi $a > 1$, nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ khi $0 < a < 1$.

Đề bài

Dùng đạo hàm của hàm số, hãy giải thích:

a) Hàm số $y = {a^x}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a > 1$, nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $0 < a < 1$.

b) Hàm số $y = {\log _a}x$ đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ khi $a > 1$, nghịch biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ khi $0 < a < 1$.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Nếu $f'\left( x \right) \ge 0$ (hoặc $f'\left( x \right) \le 0$) với mọi $x$ thuộc $K$ và $f'\left( x \right) = 0$ chỉ tại một số hữu hạn điểm của $K$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên $K$.

Lời giải chi tiết

a) Hàm số $y = {a^x}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Ta có: ${y^\prime } = {a^x}.\ln a$

+ Khi $a > 1 \Leftrightarrow \ln a > 0 \Leftrightarrow {a^x}.\ln a > 0 \Leftrightarrow y' > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+ Khi $0 < a < 1 \Leftrightarrow \ln a < 0 \Leftrightarrow {a^x}.\ln a < 0 \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Vậy hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $y = {\log _a}x$ có tập xác định là $\left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có: ${y^\prime } = \frac{1}{{x.\ln a}}$

+ Khi $a > 1 \Leftrightarrow \ln a > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{x.\ln a}} > 0 \Leftrightarrow y' > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$.

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

+ Khi $0 < a < 1 \Leftrightarrow \ln a < 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{x.\ln a}} < 0 \Leftrightarrow y' < 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$.

Vậy hàm số nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 22 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Chứng minh rằng: a) Hàm số $y = \sqrt {{x^2} - 4} $ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$. b) Hàm số $y = \ln \left( {{x^2} + 1} \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$. c) Hàm số $y = {2^{ - {x^2} + 2x}}$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.
Giải bài 23 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: a) (y = x.{e^x}); b) (y = {left( {x + 1} right)^2}.{e^{ - x}}); c) (y = {x^2}.ln {rm{x}}); d) (y = frac{x}{{ln {rm{x}}}}).
Giải bài 24 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1 000 con vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: $N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}$ trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây $\left( {t \ge 0} \right)$ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Trong khoảng thời gian nào từ lúc nuôi cấy, số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên?
Giải bài 25 trang 15 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left( t \right) = {t^3} - 6{t^2} + 14t + 1$ trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét. Trong khoảng thời gian nào của 5 giây đầu tiên thì vận tốc tức thời của chất điểm tăng lên?
Giải bài 20 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm điểm cực trị của mỗi hàm số sau: a) $y = {x^3} - 12{\rm{x}} + 8$; b) $y = 2{{\rm{x}}^4} - 4{{\rm{x}}^2} - 1$; c) $y = \frac{{{x^2} - 2{\rm{x}} - 2}}{{x + 1}}$; d) $y = - x + 1 - \frac{9}{{x - 2}}$
Giải bài 19 trang 14 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm các khoảng đơn điệu của mỗi hàm số sau: a) $y = - \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + 3{\rm{x}} - 1$; b) $y = {x^3} - 3{x^2} + 3{\rm{x}} - 1$; c) $y = {x^4} + {x^2} - 2$; d) $y = - {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} - 1$; e) $y = \frac{{2{\rm{x}} - 3}}{{{\rm{x}} - 4}}$; g) $y = \frac{{{x^2} + x + 2}}{{x + 2}}$.
Giải bài 18 trang 13 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như Hình 8. a) $f'\left( x \right) = 0$ khi $x = 0,x = 1,x = 3$. b) Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$. c) $f'\left( x \right) > 0$ khi $x \in \left( {0;3} \right)$. d) Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( {0;3} \right)$.
Giải bài 17 trang 13 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án đúng (Đ) hoặc sai (S). Cho hàm số (y = {x^3} - 3{rm{x}} + 2). a) (y' = 3{{rm{x}}^2} - 3). b) (y' = 0) khi (x = - 1,x = 1). c) (y' > 0) khi (x in left( { - 1;1} right)) và (y' < 0) khi (x in left( { - infty ; - 1} right) cup left( {1; + infty } right)). d) Giá trị cực đại của hàm số là ${{f}_{CĐ}}=0$.
Giải bài 16 trang 13 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ như Hình 7. Số điểm cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ là: A. 4. B. 3. C. 2. D. 1.
Giải bài 15 trang 13 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như Hình 6. Giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là: A. 2. B. 1. C. ‒1. D. 0.
Giải bài 14 trang 12 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như Hình 5. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.
Giải bài 13 trang 12 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} - 9x - 3$ đạt cực tiểu tại điểm: A. ‒1. B. 3. C. 2. D. ‒30.
Giải bài 12 trang 12 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số $y = 2{x^3} + 3x + 2$. Kết luận nào sau đây là đúng? A. Hàm số có 3 cực trị. B. Hàm số có 2 cực trị. C. Hàm số có 1 cực trị. D. Hàm số không có cực trị.
Giải bài 11 trang 12 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = {x^2}{\left( {{x^2} - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right),\forall x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
Giải bài 10 trang 12 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 5$. B. Hàm số có giá trị cực đại bằng 0. C. Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 2$. D. Hàm số đạt cực đại tại $x = 4$.
Giải bài 8 trang 11 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đạo hàm trên (mathbb{R}) và bảng xét dấu của đạo hàm như sau: Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Giải bài 9 trang 12 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau: Điểm cực đại của hàm số đã cho là: A. ‒1. B. 3. C. 2. D. 0.
Giải bài 7 trang 11 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như Hình 4. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Giải bài 6 trang 11 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Trong các hàm số sau, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ là:
Giải bài 5 trang 11 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số (y = frac{x}{{x - 1}}). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Giải bài 4 trang 11 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số $y = - {x^3} + 3{x^2} - 4$. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
Giải bài 3 trang 10 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đạo hàm (f'left( x right) = - xleft( {2x - 5} right),forall x in mathbb{R}). Khẳng định nào dưới đây đúng?
Giải bài 2 trang 10 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:
Giải bài 1 trang 10 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có bảng xét dấu của đạo hàm (f'left( x right)) như sau