Giải bài 20 trang 54 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1

a) Chứng minh rằng (frac{1}{{sqrt {n + 1} + sqrt n }} = sqrt {n + 1} - sqrt n ) với mọi số tự nhiên n. b) Tính (frac{1}{{sqrt 1 + sqrt 2 }} + frac{1}{{sqrt 2 + sqrt 3 }} + ... + frac{1}{{sqrt {99} + sqrt {100} }}.)

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 9 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - KHTN - Lịch sử và Địa lí

Đề bài

a) Chứng minh rằng \(\frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \) với mọi số tự nhiên n.

b) Tính \(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }}.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Dựa vào: \(\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }} = \frac{{\sqrt a .\sqrt b }}{{{{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} = \frac{{\sqrt {ab} }}{b}(a \ge 0,b > 0)\)

\(\sqrt {\frac{a}{b}} = \sqrt {\frac{{ab}}{{{b^2}}}} = \frac{{\sqrt {ab} }}{b}(a \ge 0,b > 0)\)

Lời giải chi tiết

a) Xét vế trái

\(VT = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \\= \frac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{\left( {\sqrt {n + 1} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \right)}}\\ = \frac{{\sqrt {n + 1} - \sqrt n }}{{n + 1 - n}} \\= \sqrt {n + 1} - \sqrt n = VP.\)

b) Ta có:

\(\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{\sqrt {99} + \sqrt {100} }} \\= \frac{\sqrt 1 - \sqrt 2}{{(\sqrt 1 + \sqrt 2 )(\sqrt 1 - \sqrt 2)}} + \frac{\sqrt 2 - \sqrt 3}{{(\sqrt 2 + \sqrt 3)(\sqrt 2 - \sqrt 3)}} + ... + \frac{\sqrt {99} - \sqrt {100} }{{(\sqrt {99} + \sqrt {100})(\sqrt {99} - \sqrt {100}) }} \\= \frac{\sqrt 1 - \sqrt 2}{{1 - 2}} + \frac{\sqrt 2 - \sqrt 3}{{2 - 3}} + ... + \frac{\sqrt {99} - \sqrt {100} }{{99 - 100 }} \\= - (\sqrt 1 - \sqrt 2) - (\sqrt 2 - \sqrt 3) - ... - (\sqrt {99} - \sqrt {100}) \\= \sqrt 2 - 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + ... + \sqrt {100} - \sqrt {99} \\ = - 1 + \sqrt {100} = - 1 + 10 = 9.\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 21 trang 54 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho biểu thức P = (left( {frac{{sqrt a + 1}}{{sqrt a - 1}} - frac{{sqrt a - 1}}{{sqrt a + 1}} + frac{{4 + 4a}}{{1 - {a^2}}}} right)left( {sqrt a - frac{1}{{sqrt a }}} right)) với a > 0, (a ne 1). a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị của a để P = 2
Giải bài 22 trang 54 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Thời gian T (s) để con lắc trên đồng hồ quả lắc thực hiện được một dao động (thời gian giữa hai tiếng “tích tắc” liên tiếp) gọi là chu kì con lắc và được tính bởi công thức (T = 2pi sqrt {frac{l}{g}} ), trong đó l (m) là chiều dài của dây, g = 9,8 m/s2. a) Tính chu kì của con lắc khi chiều dài của dây là l = 0,5 m (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn của giây). b) Chiều dài của dây phải bằng bao nhiêu thì con lắc có chu kì T = 2 s (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn của mét)? c) Nếu c
Giải bài 19 trang 54 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Rút gọn các biểu thức (biết a> 0, b > 0): a) (sqrt {frac{a}{b}} + sqrt {frac{b}{a}} - frac{{sqrt {ab} }}{a}); b) (left( {a - 2sqrt {frac{b}{a}} } right)left( {a + frac{2}{a}sqrt {ab} } right)).
Giải bài 18 trang 54 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tính giá trị của các biểu thức: a) (sqrt {9 + sqrt {17} } .sqrt {9 - sqrt {17} } ); b) ({left( {sqrt {5 + sqrt {21} } + sqrt {5 - sqrt {21} } } right)^2}).
Giải bài 17 trang 54 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho tam giác ABC vuông tại A, (AB = sqrt 2 ,AC = sqrt 6 ). Tính giá trị đúng (không làm trò) của a) Chu vi và diện tích tam giác ABC. b) Độ dài đường cao AH của tam giác ABC.
Giải bài 16 trang 53 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Giá trị trung bình của ba số a, b và c được tính bằng công thức (A = sqrt[3]{{abc}}). Tính giá trị trung bình nhân của các số a) 3; 8 và 9; b) -1; 40 và 25.
Giải bài 15 trang 53 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Tìm số tự nhiên n thoả mãn n < (sqrt {37} ) < n + 1.
Giải bài 14 trang 53 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
a) Sắp xếp ba số (2sqrt 7 ,3sqrt 7 ) và 7 theo thứ tự tăng dần. b) Rút gọn biểu thức (A = sqrt {{{left( {7 - 2sqrt 7 } right)}^2} + {{left( {7 - 3sqrt 7 } right)}^2}} ).
Giải bài 13 trang 53 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Biết rằng diện tích của hình tròn lớn bằng tổng diện tích của hai hình tròn nhỏ có bán kính lần lượt là 2 cm và 3 cm. Tính bán kính r của hình tròn lớn (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của xăngtimet).
Giải bài 12 trang 53 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Một bức tường có dạng hình thang ABCD vuông tại B và C, AB = (sqrt 8 ) m, BC = (sqrt {24} ) m, CD = (sqrt {18} ) m như Hình 2. a) Chiều dài của cạnh AB là (2sqrt 2 ) m. b) Chênh lệch chiều dài giữa hai cạnh AB và CD là (sqrt {10} ) m. c) Diện tích của bức tường là (10sqrt 6 ) m2. d) Chiều dài cạnh AD là (sqrt {26} )m.
Giải bài 11 trang 53 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Cho a là số thực âm. a) ( - sqrt {{a^2}} = a) b) (sqrt {{{left( {10a} right)}^2}} = 10a) c) (sqrt {4{a^2}} = - 4a) d) (sqrt {frac{{{a^2}}}{{16}}} = - frac{a}{4})
Giải bài 10 trang 53 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Động năng W (J) của vật có khối lượng m (kg) chuyển động với tốc độ v (m/s) được tính theo công thức ({rm{W}} = frac{1}{2}m{v^2}). Công thức nào sau đây cho phép tính tốc độ theo động năng và khối lượng của vật? A. ({rm{v}} = frac{{2{rm{W}}}}{m}) B. ({rm{v}} = sqrt {frac{{rm{W}}}{{2m}}} ) C. (v = frac{{sqrt {2W} }}{m}) D. ({rm{v}} = sqrt {frac{{2{rm{W}}}}{m}} )
Giải bài 9 trang 53 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Rút gọn biểu thức (sqrt {245} - sqrt {75} + sqrt {45} - sqrt {12} ) nhận được biểu thức có dạng (asqrt 5 + bsqrt 3 ). Giá trị của a – b là A. 17 B. 3 C. 9 D. 10
Giải bài 8 trang 52 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Rút gọn biểu thức (frac{{sqrt {20} }}{{sqrt {24} }}.frac{{sqrt 8 }}{{sqrt {10} }}:left( { - sqrt {frac{2}{9}} } right)), ta có kết quả A. ( - sqrt 2 ) B. ( - frac{{3sqrt 2 }}{2}) C. ( - frac{{2sqrt 3 }}{3}) D. ( - sqrt 3 )
Giải bài 7 trang 52 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Rút gọn biểu thức (frac{{sqrt {ab} }}{{bsqrt a + asqrt b }}) với (a > b > 0), ta có kết quả A. (frac{{sqrt a + sqrt b }}{{a + b}}) B. (frac{{sqrt a + sqrt b }}{{a - b}}) C. (frac{{sqrt a - sqrt b }}{{a - b}}) D. (frac{1}{{sqrt a - sqrt b }})
Giải bài 6 trang 52 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Rút gọn biểu thức (frac{{a - 81b}}{{sqrt a - 9sqrt b }}) với (a ge 0,b ge 0) và (a ne 81b), ta có kết quả A. (sqrt a + 3sqrt b ) B. (sqrt a - 3sqrt b ) C. (sqrt a + 9sqrt b ) D. (sqrt a - 9sqrt b )
Giải bài 5 trang 52 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Trong Hình 1, biết hai hình vuông có diện tích lần lượt là 108 cm2 và 96 cm2. Diện tích của hình chữ nhật ABCD là A. (48sqrt 3 ) cm2 B. (24sqrt 6 ) cm2 C. (72sqrt 2 ) cm2 D. 144 cm2
Giải bài 4 trang 52 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Rút gọn biểu thức (sqrt {18.80} .sqrt {30} ), ta có kết quả A. (120sqrt 3 ) B. (120sqrt 6 ) C. (120sqrt {15} ) D. 360
Giải bài 3 trang 52 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Số (sqrt {79} ) nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp là A. 7 và 8 B. 8 và 9 C. 9 và 10 D. 78 và 80
Giải bài 2 trang 52 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Trong các giá trị sau của a, giá trị nào làm cho (sqrt {24a} ) là số tự nhiên? A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
Giải bài 1 trang 52 sách bài tập toán 9 - Chân trời sáng tạo tập 1
Rút gọn biểu thức (sqrt {{{left( { - a} right)}^2}} - sqrt {9{a^2}} ) với a < 0, ta có kết quả A. – 4a B. 2a C. 4a D. – 2a