Giải bài 1.37 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Giả sử chi phí để sản xuất (x) sản phẩm của một nhà máy được cho bởi (Cleft( x right) = 0,2{x^2} + 10x + 5) (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là (fleft( x right) = frac{{Cleft( x right)}}{x}). a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số (y = fleft( x right)). b) Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?

Đề bài

Giả sử chi phí để sản xuất \(x\) sản phẩm của một nhà máy được cho bởi \(C\left( x \right) = 0,2{x^2} + 10x + 5\) (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là \(f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\).

a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\).

b) Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ý a: Khảo sát hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{0,2{x^2} + 10x + 5}}{x}\) theo các bước đã học.

Ý b: Từ bảng biến thiên suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số.

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{0,2{x^2} + 10x + 5}}{x}\) .

Tập xác định \(\left[ {1; + \infty } \right)\).

Sự biến thiên: \(f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{0,2{x^2} + 10x + 5}}{x}} \right)^\prime } = \frac{{0,2{x^2} - 5}}{{{x^2}}}\).

Khi đó \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{0,2{x^2} - 5}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 5\) do \(x \ge 1\).

+ Ta có \(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 6{\left( {x - 4} \right)^2} - 1200 = 0 \Leftrightarrow x = 4 + 10\sqrt 2 \).

+ Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {5; + \infty } \right)\), nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;5} \right)\).

+ Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 5\) với \({f_{CT}} = 12\).

+ Giới hạn tại vô cực \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \)

+ Bảng biến thiên:

b) Từ bảng biến thiên suy ra số lượng sản phẩm cần sản xuất là \(x = 5\) để chi phí sản xuất trung bình là thấp nhất: \({f_{CT}} = 12\).

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 1.38 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho điểm (Aleft( {3;2} right)) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua (A) cắt trục hoành tại (B), cắt trục tung tại (C) tạo thành một tam giác (OBC) nằm trong góc phần tư thứ nhất, với (O) là gốc tọa độ. a) Biết hoành độ điểm (B) là (x = t) với (t > 3). Tính diện tích tam giác (OBC) theo (t). Kí hiệu diện tích này là (Sleft( t right)). b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số (Sleft( t right)). c) Tìm vị trí điểm (B) để diện tích tam giác (OBC) nhỏ nhất.
Giải bài 1.39 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một quần thể cá được nuôi trong một hồ nhân tạo lúc ban đầu có (80000) con. Sau (t) năm số lượng quần thể cá nói trên được xác định bởi (Nleft( t right) = frac{{20left( {4 + 3t} right)}}{{1 + 0,05t}}) (nghìn con). a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số (y = Nleft( t right)). b) Số lượng tối đa có thể chứa của quần thể cá là bao nhiêu?
Giải bài 1.40 trang 27 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một khối bưu kiện có hình hộp chữ nhật được quy định về kích cỡ như sau: tổng chiều dài và chu vi thiết diện ngang (hình vuông) là (240) cm. Gọi (x) là độ dài cạnh của thiết diện ngang. a) Tính thể tích của khối bưu kiện theo (x). b) Kí hiệu (Vleft( x right)) là thể tích của khối bưu kiện. Khảo sát sự biến thiên của hàm số (y = Vleft( x right)).
Giải bài 1.36 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích (300) cm2, lề trái và lề phải là (2) cm, lề trên và lề dưới là (3) cm. Gọi (x) (cm) là chiều rộng của tờ giấy. a) Tính diện tích của tờ giấy theo (x). b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là (Sleft( x right)). Khảo sát sự biến thiên của hàm số (y = Sleft( x right)). c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.
Giải bài 1.35 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Gia tốc \(a\left( t \right)\) của một vật chuyển động, \(t\) tính theo giây, từ giây thứ nhất đến giây thứ \(5\) là một hàm liên tục có đồ thị như sau: a) Lập bảng biến thiên của hàm vận tốc \(y = v\left( t \right)\) của vật, với \(t \in \left[ {1;5} \right]\). b) Tại thời điểm nào vật chuyển động với vận tốc lớn nhất?
Giải bài 1.34 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đạo hàm (f'left( x right)) xác định trên (mathbb{R}) và (f'left( x right)) có đồ thị như hình vẽ sau: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số (y = fleft( x right)).
Giải bài 1.33 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}}); b) (y = frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}}).
Giải bài 1.32 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = frac{{3x + 5}}{{x + 2}}); b) (y = frac{{2x - 1}}{{x - 1}}).
Giải bài 1.31 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = {x^3} - 6{x^2} + 9x); b) (y = {x^3} + 3{x^2} + 6x + 4).