Giải bài 1.33 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}}); b) (y = frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}}).

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}}\);

b) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+ Tìm tập xác định của hàm số.

+ Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Tính đạo hàm, tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của đồ thị, tìm các điểm cực trị, cực trị, tiệm cận, ghi kết quả tìm được vào bảng biến thiên.

+ Vẽ đồ thị dựa vào bảng biến thiên, khi vẽ lưu ý đến tính đối xứng, tọa độ giao điểm với các trục.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Ta có \(y = x - 2 + \frac{4}{{x - 2}}\).

Sự biến thiên:

+ Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\), khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 4\).

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {4; + \infty } \right)\); hàm số nghịch biến trên từng khoảng \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\).

+ Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\) với \({y_{CĐ =- 4}}\); hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 4\) với \({y_{CT = 4}}\).

+ Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty \) suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2 + \frac{4}{{x - 2}}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 4}}{{x - 2}} = 0\) suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x - 2\).

+ Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 4} \right)\), không cắt trục hoành. Đồ thị nhận \(\left( {2;0} \right)\) làm tâm đối xứng. Hai trục đối xứng của hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

b) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Ta có \(y = 2x + 1 - \frac{6}{{x + 1}}\)

Sự biến thiên:

+ Ta có \(y' = \frac{{2{x^2} + 4x + 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne - 1\).

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

+ Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = - \infty \) suy ra tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {2x + 1} \right) - \left( {2x + 1 - \frac{6}{{x + 1}}} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{6}{{x + 1}} = 0\) suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = 2x + 1\).

+ Bảng biến thiên:

Đồ thị: Đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 5} \right)\), cắt trục hoành tại các điểm \(\left( {\frac{{ - 5}}{2};0} \right)\)và \(\left( {1;0} \right)\), đồ thị có tâm đối xứng là điểm \(\left( { - 1; - 1} \right)\). Hai trục đối xứng của hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 1.34 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đạo hàm (f'left( x right)) xác định trên (mathbb{R}) và (f'left( x right)) có đồ thị như hình vẽ sau: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số (y = fleft( x right)).
Giải bài 1.35 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Gia tốc \(a\left( t \right)\) của một vật chuyển động, \(t\) tính theo giây, từ giây thứ nhất đến giây thứ \(5\) là một hàm liên tục có đồ thị như sau: a) Lập bảng biến thiên của hàm vận tốc \(y = v\left( t \right)\) của vật, với \(t \in \left[ {1;5} \right]\). b) Tại thời điểm nào vật chuyển động với vận tốc lớn nhất?
Giải bài 1.36 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích (300) cm2, lề trái và lề phải là (2) cm, lề trên và lề dưới là (3) cm. Gọi (x) (cm) là chiều rộng của tờ giấy. a) Tính diện tích của tờ giấy theo (x). b) Kí hiệu diện tích tờ giấy là (Sleft( x right)). Khảo sát sự biến thiên của hàm số (y = Sleft( x right)). c) Tìm kích thước của tờ giấy sao cho nguyên liệu giấy được sử dụng là ít nhất.
Giải bài 1.37 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giả sử chi phí để sản xuất (x) sản phẩm của một nhà máy được cho bởi (Cleft( x right) = 0,2{x^2} + 10x + 5) (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm là (fleft( x right) = frac{{Cleft( x right)}}{x}). a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số (y = fleft( x right)). b) Số lượng sản phẩm cần sản xuất là bao nhiêu để chi phí trung bình là thấp nhất?
Giải bài 1.38 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Cho điểm (Aleft( {3;2} right)) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua (A) cắt trục hoành tại (B), cắt trục tung tại (C) tạo thành một tam giác (OBC) nằm trong góc phần tư thứ nhất, với (O) là gốc tọa độ. a) Biết hoành độ điểm (B) là (x = t) với (t > 3). Tính diện tích tam giác (OBC) theo (t). Kí hiệu diện tích này là (Sleft( t right)). b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số (Sleft( t right)). c) Tìm vị trí điểm (B) để diện tích tam giác (OBC) nhỏ nhất.
Giải bài 1.39 trang 26 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một quần thể cá được nuôi trong một hồ nhân tạo lúc ban đầu có (80000) con. Sau (t) năm số lượng quần thể cá nói trên được xác định bởi (Nleft( t right) = frac{{20left( {4 + 3t} right)}}{{1 + 0,05t}}) (nghìn con). a) Khảo sát sự biến thiên của hàm số (y = Nleft( t right)). b) Số lượng tối đa có thể chứa của quần thể cá là bao nhiêu?
Giải bài 1.40 trang 27 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Một khối bưu kiện có hình hộp chữ nhật được quy định về kích cỡ như sau: tổng chiều dài và chu vi thiết diện ngang (hình vuông) là (240) cm. Gọi (x) là độ dài cạnh của thiết diện ngang. a) Tính thể tích của khối bưu kiện theo (x). b) Kí hiệu (Vleft( x right)) là thể tích của khối bưu kiện. Khảo sát sự biến thiên của hàm số (y = Vleft( x right)).
Giải bài 1.32 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = frac{{3x + 5}}{{x + 2}}); b) (y = frac{{2x - 1}}{{x - 1}}).
Giải bài 1.31 trang 25 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) (y = {x^3} - 6{x^2} + 9x); b) (y = {x^3} + 3{x^2} + 6x + 4).