Giải bài 10 trang 46 sách bài tập toán 11 - Cánh diều

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\).

Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\).

a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng \({u_{n + 4}} = {u_n}\) với mọi \(n \ge 1\).

c) Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Thay \(n = 1,{\rm{ }}2,{\rm{ 3, 4}}\) vào công thức \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\) để xác định 4 số hạng đầu của dãy số.

b) Thay \(n\) bởi \(n + 4\) vào công thức \({u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]\) để xác định \({u_{n + 4}}\) và chú ý rằng \(\sin \left( {x + k2\pi } \right) = \sin x\).

c) Sử dụng kết quả câu b, ta có \({u_1} = {u_5} = {u_9}\), \({u_2} = {u_6} = {u_{10}}\),\({u_3} = {u_7} = {u_{11}}\), \({u_4} = {u_8} = {u_{12}}\). Do đó tổng 12 số hạng đầu tiên bằng \(3\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\({u_1} = \sin \left[ {\left( {2.1 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\({u_2} = \sin \left[ {\left( {2.2 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\({u_3} = \sin \left[ {\left( {2.3 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{5\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\({u_4} = \sin \left[ {\left( {2.4 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{7\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Như vậy 4 số hạng đầu của dãy số là: \(\frac{{\sqrt 2 }}{2},\frac{{\sqrt 2 }}{2}, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

b) Ta có:

\({u_{n + 4}} = \sin \left\{ {\left[ {2\left( {n + 4} \right) - 1} \right]\frac{\pi }{4}} \right\} = \sin \left[ {\left( {2n - 1 + 8} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4} + 2\pi } \right] = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = {u_n}\)

Vậy \({u_{n + 4}} = {u_n}\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).

c) Theo câu b, ta có \({u_{n + 4}} = {u_n}\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\). Như vậy \({u_1} = {u_5} = {u_9}\), \({u_2} = {u_6} = {u_{10}}\),\({u_3} = {u_7} = {u_{11}}\), \({u_4} = {u_8} = {u_{12}}\).

Do đó:

\({u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{12}} = 3\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} \right) = 3\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 11 trang 46 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sau:
Giải bài 12 trang 46 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{an + 2}}{{n + 1}}\) với \(a\) là số thực. Tìm \(a\) để dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Giải bài 13 trang 46 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Chứng minh rằng:
Giải bài 14 trang 46 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Với mỗi số nguyên dương \(n\), lấy \(n + 6\) điểm cách đều nhau trên đường tròn.
Giải bài 9 trang 46 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{2{x^2} + 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\).
Giải bài 8 trang 46 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 2\) và \({u_n} = \sqrt {2 + u_{n - 1}^2} \) với mọi \(n \ge 2\).
Giải bài 7 trang 46 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Tính tổng 6 số hạng đầu của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_n} = 3n - 1\).
Giải bài 6 trang 45 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \cos n\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là:
Giải bài 5 trang 45 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định như sau, dãy số giảm là:
Giải bài 4 trang 45 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = {3^n}\). Số hạng \({u_{n + 1}}\) bằng:
Giải bài 3 trang 45 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{3n - 2}}\). Với \({u_k} = \frac{8}{{19}}\) là số hạng của dãy số thì \(k\) bằng:
Giải bài 2 trang 45 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 2}}\). Số hạng \({u_{10}}\) là:
Giải bài 1 trang 45 sách bài tập toán 11 - Cánh diều
Cho dãy số (left( {{u_n}} right)) biết ({u_1} = 2) và ({u_n} = frac{{{u_{n - 1}} + 1}}{2}) với mọi (n ge 2). Ba số hạng đầu tiên của dãy số lần lượt là: