Giải bài tập Tài liệu Dạy - học Toán lớp 9, Phát triển tư duy đột phá trong dạy học Toán 9 Bài tập - Chủ đề 3: Tứ giác nội tiếp

Bài 12 trang 103 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2


Giải bài tập Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của B trên AC,

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Đề bài

Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của B trên AC, CD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và HI. Chứng minh:

a) Hai tam giác ABD và HBI đồng dạng.

b) \(\widehat {MNB} = {90^o}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng minh hai tam giác ABD và HBI đồng dạng theo trường hợp g-g.

b) Chứng minh tam giác BDM và tam giác BIN đồng dạng theo trường hợp c-g-c.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét tứ giác BHIC có : \(\widehat {BHC} = \widehat {BIC} = {90^0}\) (gt) \( \Rightarrow \) 2 điểm H, I cùng nhìn B, C dưới góc 900\( \Rightarrow H;I\) thuộc đường tròn đường kính BC \( \Rightarrow BHIC\) nội tiếp đường tròn đường kính BC.

\( \Rightarrow \widehat {HIB} = \widehat {HCB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HB).

Mà \(\widehat {HCB} = \widehat {ADB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của đường tròn \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow \widehat {HIB} = \widehat {ADB}\).

Tương tự ta có : \(\widehat {HBI} = \widehat {HCI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HI của đường tròn đường kính BC).

\(\widehat {HCI} = \widehat {ABD}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD của đường tròn \(\left( O \right)\))

\( \Rightarrow \widehat {HBI} = \widehat {ABD}\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBI\) có :

\(\begin{array}{l}\widehat {HIB} = \widehat {ADB}\,\,\left( {cmt} \right);\\\widehat {HBI} = \widehat {ABD}\,\,\left( {cmt} \right);\\ \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta HBI\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)

b) Gọi K là hình chiếu của B trên AD \( \Rightarrow \widehat {BKD} = {90^0}\).

Xét tứ giác BIDK có : \(\widehat {BID} + \widehat {BKD} = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác BIDK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).

\( \Rightarrow \widehat {DKI} = \widehat {DBI}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DI)  (1).

Ta có \(\Delta ABD \sim \Delta HBI\,\,\left( {cmt} \right)\)

\(\Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BI}} = \dfrac{{AD}}{{HI}} = \dfrac{{2MD}}{{2NI}} = \dfrac{{MD}}{{NI}}\)

Xét \(\Delta BDM\) và \(\Delta BIN\) có :  

\(\begin{array}{l}\widehat {HIB} = \widehat {ADB}\,\,\left( {cmt} \right);\\\dfrac{{BD}}{{BI}} = \dfrac{{MD}}{{NI}}\,\,\left( {cmt} \right);\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta BDM \sim \Delta BIN\,\,\left( {c.g.c} \right) \)

\(\Rightarrow \widehat {DBM} = \widehat {IBN}\) (2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow \widehat {DBM} + \widehat {DBN} = \widehat {IBN} + \widehat {DBN} \)

\(\Rightarrow \widehat {MBN} = \widehat {BDI}\)  (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {DKI} = \widehat {MBN}\) hay \(\widehat {MKN} = \widehat {MBN} \) (\Rightarrow \) Tứ giác MNBK là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \widehat {BKM} + \widehat {BNM} = {180^0}\) (tổng 2 góc đối của tứ giác nội tiếp)

Mà \(\widehat {BKM} = {90^0}\) (cách dựng) \( \Rightarrow \widehat {BNM} = {90^0}\) (đpcm).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 9 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com, cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua