Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số Toán 12 Cùng khám phá

1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm Định lý

1. Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm

Định lý

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \)).

- Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0.

- Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0.

Ví dụ: Hàm số \(y = {x^2} - 4x + 2\) có y’ = 2x – 4.

y’ > 0 với \(x \in (2; + \infty )\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\).
y’ < 0 với \(x \in ( - \infty ;2)\) nên HS đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;2} \right)\).

Định lý mở rộng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b).

- Nếu f’(x) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).

- Nếu f’(x) 0 với mọi x thuộc (a;b) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữa hạn điểm thuộc khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b).

2. Cực trị của hàm số

Khái niệm cực trị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) (a có thể là \( - \infty \), b có thể là \( + \infty \)) và điểm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\).

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực đại tại \({x_0}\).

- Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(\({x_0}\)) \(\forall x \in \left( {{x_0} - h;{x_0} + h} \right) \subset \left( {a;b} \right)\) và \(x \ne {x_0}\) thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại \({x_0}\).

Ví dụ: Cho đồ thị của hàm số y = f(x) như sau:

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1 và \({y_{CT}}\)= y(-1) = 2.

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và = y(0) = 3.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và \({y_{CT}}\)= y(1) = 2.

Định lí (điều kiện đủ để hàm số có cực trị)

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm \({x_0}\) và có đạo hàm trên các khoảng \(\left( {a;{x_0}} \right)\) và \(\left( {{x_0};b} \right)\). Khi đó:

- Nếu f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

- Nếu f’(x) > 0 \(\forall x \in \left( {a;{x_0}} \right)\) và f’(x) < 0 \(\forall x \in \left( {{x_0};b} \right)\) thì \({x_0}\) là một điểm cực đại của hàm số f(x).

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 30\).

Tập xác định của hàm số là R.

Ta có: \(y' = 3{x^2} - 12x + 9\); y’ = 0 \( \Leftrightarrow \)x = 1 hoặc x = 3.

BBT:

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 và = y(1) = 34.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 và \({y_{CT}}\)= y(3) = 30.

Tổng quát, ta có quy tắc tìm cực trị của hàm số y = f(x)

Tìm tập xác định của hàm số.
Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm \({x_i}\)(i=1,2,…) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
Lập BBT của hàm số.
Nêu kết luận về các điểm trực trị và giá trị cực trị.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Lý thuyết Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Toán 12 Cánh Diều
Tính đơn điệu và cực trị của hàm số của hàm số Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b), (có thể a là \( - \infty \);b là \( + \infty \)) Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) > 0 Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K nếu f’(x) < 0
Giải mục 1 trang 2,3,4 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Tính đơn điệu của hàm số và dấu của đạo hàm
Giải mục 2 trang 5,6,7 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cực trị của hàm số
Giải bài tập 1.1 trang 8 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hàm số liên tục trên các khoảng \(( - \infty ;1)\),\((1; + \infty )\)và có bảng biến thiên như sau Xác định các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số đã cho
Giải bài tập 1.2 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
a) (y = - {x^3} + {x^2} - 5) b) (y = sqrt {{x^2} - x - 20} ) c) (y = {e^{{x^2}}}) d) (y = frac{x}{{{x^2} + 4}})
Giải bài tập 1.3 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
a) (y = frac{x}{3}{(x - 3)^2}) b) (y = left| x right|) c) (y = {3^{x - 2{x^2}}}) d) (y = ln ({x^2} + e))
Giải bài tập 1.5 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = f(x)\)liên tục trên đoạn \([0;3]\) thõa mãn \(f'\left( {\frac{1}{3}} \right) = f'(1) = f'\left( {\frac{5}{2}} \right) = 0\)và có đồ thị là đường cong như hình 1.5. Xác định các khoảng đơn điệu và tìm cực trị hàm số đã cho trên khoảng \((0;3)\)
Giải bài tập 1.6 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Cho hàm số \(y = f(x)\)có đạo hàm là \(y' = f'(x) = x{(x - 1)^2}(x + 3)\)với \(\forall x \in R\) , xác định các khoảng đồng biến nghịch biến và điểm cực trị của hàm sô \(f(x)\) đã cho
Giải bài tập 1.7 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Thể tích \(V\) của 1 kg nước (tính bằng cm3¬) ở nhiệt độ \(T\) (đơn vị: oC) khi \(T\) thay đổi từ 0oC đến 30oC được cho xấp xỉ bởi công thức: \(V = 999,87 - 0.06426T + 0,0085043{T^2} - 0,0000769{T^3}\) (Nguồn: James Stewart,J(2015).Calculus.Cengage Learning 8th edition, p.284) Tìm nhiệt độ \({T_0} \in (0;30)\) kể từ nhiệt độ \({T_0}\) trở lên thì thể tích tăng( làm tròn kết quả đến hàng đơn vị
Giải bài tập 1.8 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
Một công ty tiến hành khai thác 17 giếng dầu trong khi vực đucợ định, Trung bình mỗi giếng dầu chiết xuất đc 245 thùng dầu mỗi ngày. Công ty có thể khai thác nhiều hơn 17 giếng dầu nhưng cứ khai thác thêm một giếng thì lượng dầu mỗi giếng chiết xuất được hằng ngày giảm 9 thùng. Để giám đóc công ty có thể quyết định số giếng cần thêm cho phù hợp với tài chính, hãy chỉ ra số giếng công ty có thể khai thác thêm để sản lượng dầu chiết xuất tăng lên
Giải bài tập 1.4 trang 9 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá
a) (y = - {x^3} + 3x - 6) b) (y = frac{{x - 1}}{{x + 2}}) c) (y = frac{{ - {x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}) d) (y = frac{{3x}}{{{x^2} - 9}})