Lý thuyết Hàm số lượng giác - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

1. Định nghĩa hàm số lượng giác

Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là \(\mathbb{R}\).
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là \(\mathbb{R}\).
Hàm số cho bằng công thức \(y = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Hàm số cho bằng công thức \(y = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\)được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cotx. Tập xác định của hàm số côtang là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

a, Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = f(x)\). Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.
Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu \(\forall x \in D\) thì \( - x \in D\) và \(f( - x) = - f(x)\). Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

b, Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T \( \ne \)0 sao cho với mọi \(x \in D\)ta có:

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nêu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

* Nhận xét:

Các hàm số y = sinx, y=cosx tuần hoàn chu kì 2\(\pi \).

Các hàm số y = tanx, y=cotx tuần hoàn chu kì \(\pi \).

3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx

Tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Tập giá trị là [-1;1].
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2\(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right)\).
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx

Tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Tập giá trị là [-1;1].
Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2\(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right)\) và nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right)\).
Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx

Tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì \(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx

Tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Tập giá trị là \(\mathbb{R}\).
Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì \(\pi \).
Đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( {k\pi ;\pi + k\pi } \right)\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.