Lý thuyết Căn thức bậc hai Toán 9 Cùng khám phá


1. Căn thức bậc hai Khái niệm căn thức bậc hai Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt A \) là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

1. Căn thức bậc hai

Khái niệm căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, người ta gọi \(\sqrt A \) là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

Ví dụ: \(\sqrt {2x - 1} \), \(\sqrt { - \frac{1}{3}x + 2} \) là các căn thức bậc hai.

Lưu ý:

\(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm.

Ví dụ: Căn thức \(\sqrt {2x + 1} \) xác định khi \(2x + 1 \ge 0\) hay \(x \ge  - \frac{1}{2}\).

2. Căn thức bậc hai của một bình phương

Với mọi biểu thức đại số, ta có:

\(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\).

Ví dụ: Với \(x < 0\), ta có 1 – x > 0. Do đó \({\left( {\sqrt {1 - x} } \right)^2} = 1 - x\).

3. Căn thức bậc hai của một tích

Với hai biểu thức A và B không âm, ta có

\(\sqrt {AB}  = \sqrt A .\sqrt B \).

Lưu ý:

- Tính chất trên có thể mở rộng cho tích của nhiều biểu thức không âm.

Với các biểu thức không âm A, B, C, ta có: \(\sqrt {A.B.C}  = \sqrt A .\sqrt B .\sqrt C \)

- Với biểu thức A không âm, ta có: \(\sqrt {{A^2}}  = {\left( {\sqrt A } \right)^2} = A\).

Ví dụ: Với \(a \ge 0,b < 0\) thì \(\sqrt {25{a^2}{b^2}}  = \sqrt {{5^2}.{a^2}.{{\left( { - b} \right)}^2}}  = \sqrt {{5^2}} .\sqrt {{a^2}} .\sqrt {{{\left( { - b} \right)}^2}}  = 5.a.\left( { - b} \right) =  - 5ab\).

4. Căn thức bậc hai của một thương

Với biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có

\(\sqrt {\frac{A}{B}}  = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\).

Ví dụ: \(\sqrt {\frac{{49}}{{64}}}  = \frac{{\sqrt {49} }}{{\sqrt {64} }} = \frac{7}{8}\);

\(\sqrt {\frac{{4{a^2}}}{{25}}}  = \frac{{\sqrt {4{a^2}} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{\sqrt 4 .\sqrt {{a^2}} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{2\left| a \right|}}{5}\);

\(\frac{{\sqrt 8 }}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {\frac{8}{2}}  = \sqrt 4  = 2\);

Với \(a > 0\) thì \(\frac{{\sqrt {52{a^3}} }}{{\sqrt {13a} }} = \sqrt {\frac{{52{a^3}}}{{13a}}}  = \sqrt {4{a^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2}}  = 2a\).

5. Trục căn thức ở mẫu

- Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có:

\(\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}\).

- Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0,A \ne {B^2}\), ta có:

\(\frac{C}{{\sqrt A  + B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A  - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\frac{C}{{\sqrt A  - B}} = \frac{{C\left( {\sqrt A  + B} \right)}}{{A - {B^2}}}\).

- Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\), ta có:

\(\frac{C}{{\sqrt A  + \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A  - \sqrt B } \right)}}{{A - B}};\frac{C}{{\sqrt A  - \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A  + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\).

Ví dụ:

\(\frac{2}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3.5}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{15}}\);

\(\frac{a}{{3 - 2\sqrt 2 }} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right).\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{{3^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{9 - 8}} = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)a\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài tập 3.21 trang 65 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

    Trong một nghiên cứu về loài khủng long, người ta dùng công thức sau để ước tính tốc độ di chuyển của khủng long: \(Fr = \frac{{{v^2}}}{{gl}}\), trong đó Fr là số Froude, v(m/s) là tốc độ di chuyển của khủng long, l(m) là chiều dài chân của khủng long và \(g = 9,8m/{s^2}\) là gia tốc trọng trường. (Nguồn: R.McNeill Alexander, How Dinosaur Ran, Scientific American, Vol.264, No.4 (April 1991), pp. 130 – 137) a) Viết biểu thức tính v theo l và Fr từ công thức trên. b) Ước tính tốc độ di chuyể

  • Giải bài tập 3.20 trang 65 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

    Vào ngày 06/01/2020, ông Thành đầu tư hết 100 triệu đồng vào một tài khoản đầu tư chứng khoán. Đến cuối ngày 06/01/2021, tài khoản đầu tư của ông tăng gấp k lần. Đến cuối ngày 06/01/2022, tài khoản đó tăng thêm 0,8k lần so với tài khoản cuối ngày 06/01/2021. Gọi S (triệu đồng) là số tiền trong tài khoản đầu tư của ông Thành cuối ngày 06/01/2022. a) Viết biểu thức tính S theo k. b) Viết biểu thức tính k theo S. Nếu số tiền trong tài khoản đầu tư của ông Thành cuối ngày 06/01/2022 là 180 triệu đ

  • Giải bài tập 3.19 trang 65 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

    Diện tích A của hình tròn bán kính r được tính bởi công thức \(A = \pi {r^2}\). a) Viết biểu thức tính r theo A từ công thức trên. b) Diện tích của hình tròn \({C_1}\) gấp 9 lần diện tích của hình tròn \({C_2}\) thì bán kính của hình tròn \({C_1}\) gấp bao nhiêu lần bán kính của hình tròn \({C_2}\)?

  • Giải bài tập 3.18 trang 65 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

    Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: a) \(8\sqrt 3 ,4\sqrt 7 ,5\sqrt 6 \) và \(9\sqrt 2 \); b) \(6\sqrt 3 ,\sqrt {48} ,3\sqrt 7 \) và \(2\sqrt {11} \).

  • Giải bài tập 3.17 trang 64 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

    Rút gọn các biểu thức sau (với giả thiết các biểu thức đều có nghĩa): a) \(\frac{{6\sqrt 2 + 3}}{{1 + 2\sqrt 2 }}\); b) \(\frac{{\sqrt {15} - \sqrt 5 }}{{\sqrt 3 - 1}}\); c) \(\frac{{m - 2\sqrt m }}{{2 - \sqrt m }}\); d) \(\frac{{3x + \sqrt {xy} }}{{3\sqrt x + \sqrt y }}\).

>> Xem thêm

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí