Lý thuyết Bất đẳng thức Toán 9 Cùng khám phá


1. Bất đẳng thức Khi so sánh hai số thực a, b bất kì, luôn xảy ra một trong ba trường hợp sau:

1. Bất đẳng thức

Khi so sánh hai số thực a, b bất kì, luôn xảy ra một trong ba trường hợp sau:

- Số a bằng số b, kí hiệu a=ba=b;

- Số a lớn hơn số b, kí hiệu a>ba>b;

- Số a nhỏ hơn số b, kí hiệu a<ba<b.

Nếu số a không lớn hơn số b thì phải có hoặc a<ba<b, hoặc a=ba=b. Khi đó ta nói gọn là a nhỏ hơn hoặc bằng b và kí hiệu abab.

Nếu số a không nhỏ hơn số b thì ta phải có hoặc a>ba>b, hoặc a=ba=b. Khi đó, ta nói a lớn hơn hoặc bằng b và kí hiệu abab.

Định nghĩa bất đẳng thức

Hệ thức dạng a>ba>b (hay a<ba<b, abab, abab) được gọi là bất đẳng thức. Khi đó a được gọi là vế trái và b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Lưu ý:

Bất đẳng thức a > b còn được viết là b < a.

Nếu đồng thời có hai bất đẳng thức a > b và a < c thì ta viết gộp lại thành b < a < c (đọc là a lớn hơn b, nhỏ hơn c)

Hai bất đẳng thức a>ba>bc>dc>d (hay ababcdcd) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

Hai bất đẳng thức a>ba>bc<dc<d (hay ababcdcd) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

2. Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Với ba số a, b, c, ta có:

Nếu a<ba<b thì a+c<b+ca+c<b+c.

Nếu a>ba>b thì a+c>b+ca+c>b+c.

Nếu abab thì a+cb+ca+cb+c.

Nếu abab thì a+cb+ca+cb+c.

Khi cộng cùng một số vào hai vế của bất đẳng thức, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức ban đầu.

Ví dụ: 2023<20242023<2024 nên 2023+(19)<2024+(19)2023+(19)<2024+(19)

Lưu ý:

Tính chất trên vẫn đúng khi ta trừ vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số. Chẳng hạn, nếu a<ba<b thì ac<bcac<bc.

Ta có thể sử dụng tính chất trên để so sánh hai số hoặc chứng minh một bất đẳng thức.

3. Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

a) Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số dương

Với ba số a, b, c bất kì, trong đó c > 0, ta có:

- Nếu a<ba<b thì ac<bcac<bc.

- Nếu a>ba>b thì ac>bcac>bc.

- Nếu abab thì acbcacbc.

- Nếu abab thì acbcacbc.

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lưu ý:

Tính chất trên vẫn đúng khi ta chia hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số dương.

Chẳng hạn, nếu a<ba<b thì ac<bcac<bc với c là số dương bất kì.

b) Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân với số âm

Với ba số a, b, c, trong đó c < 0, ta có:

Nếu a<ba<b thì ac>bcac>bc.

Nếu a>ba>b thì ac<bcac<bc.

Nếu abab thì acbcacbc.

Nếu abab thì acbcacbc.

Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Lưu ý:

Tính chất trên vẫn đúng khi ta chia hai vế của bất đẳng thức cho cùng một số âm.

Chẳng hạn, nếu a<ba<b thì ac>bcac>bc với c là số âm bất kì.

Ví dụ:

7<57<53>03>0 nên 3.(7)<3.(5)3.(7)<3.(5).

7<57<53<03<0 nên (3).(7)>(3).(5)(3).(7)>(3).(5).

4. Tính chất bắc cầu của thứ tự

Nếu a<ba<bb<cb<c thì a<ca<c. Tính chất này gọi là tính chất bắc cầu của thứ tự.

Tính chất bắc cầu cũng đúng với các thứ tự lớn hơn (>), lớn hơn hoặc bằng (), nhỏ hơn hoặc bằng ().

Ví dụ: 20242023=1+12023>120242023=1+12023>120212022=112022<120212022=112022<1 nên 20242023>2021202220242023>20212022.

Lưu ý:

Các tính chất của thứ tự cũng chính là tính chất của bất đẳng thức.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải mục 1 trang 29, 30 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

    Trong một thang máy có viết thông báo: “Tải trọng không vượt quá 1000kg”. a) Những tải trọng nào sau đây có thể được chấp nhận bởi thang máy này? Giải thích vì sao. 900kg; 1000kg; 825kg; 1023kg. b) Gọi aa là trọng tải mà thang máy cho phép. Hỏi aa có thể nhận những giá trị nào?

  • Giải mục 2 trang 31, 32 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

    a) Tết trồng cây năm ngoái, chi đoàn Hải Bình trồng được a cây, chi đoàn Tân Phú trồng được b cây, ít hơn so với chi đoàn Hải Bình. Viết bất đẳng thức so sánh a và b. b) Số cây do chi đoàn Hải Bình trồng được năm ngoái được biểu diễn bằng một điểm màu xanh trên trục số ở Hình 2.1 (mỗi khoảng cách ứng với 1 đơn vị). Hãy vẽ lại Hình 2.1 và biểu diễn điểm b trên trục số bằng một điểm màu xanh khác, biết rằng năm ngoái chi đoàn Tân Phú trồng được ít hơn 4 cây so với chi đoàn Hải Bình. c) Năm na

  • Giải mục 3 trang 32, 33, 34 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

    Chọn dấu thích hợp (>,<) cho từng ô “…” . Trong mỗi trường hợp, có nhận xét gì về chiều của bất đẳng thức thu được với chiều của bất đẳng thức ở dòng ngay phía trên? a) 2<52<5 2.42.45.45.4 2.72.75.75.7 b) 3<13<1 3.83.81.81.8 3.23.21.21.2 c) 1>41>4 1.121.124.124.12 1.51.54.54.5

  • Giải mục 4 trang 35 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

    a) Trong một mùa thi đấu giải vô địch bóng đá quốc gia, đội A ghi được ít bàn thắng hơn đội B, đội B lại ghi được ít bàn thắng hơn đội C. Gọi a,b,ca,b,c lần lượt là số bàn thắng của đội A, B, C. Viết các bất đẳng thức biểu thị quan hệ thứ tự giữa aabb, giữa bbcc. b) Hình 2.2 cho biết biểu diễn của aa trên trục số. Hãy biểu diễn bbcc trên trục số. So sánh số bàn thắng của các đội A và C.

  • Giải bài tập 2.1 trang 36 SGK Toán 9 tập 1 - Cùng khám phá

    Mỗi khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao? a) 4+7>54+7>5; b) 123.4123.4; c) 135+(87)<150+(87)135+(87)<150+(87).

>> Xem thêm

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.