Kí hiệu ∃, ∀. Mệnh đề chứa kí hiệu ∃, ∀ - Toán 10

Kí hiệu \(\forall \)  đọc là “với mọi”.

Cách phát biểu mệnh đề chứa kí hiệu \(\forall \):

P: “\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} \ge 0\)”: “Với mọi số thực, bình phương của nó đều không âm”.

Q: “\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} \ge 0\)”: “Với mọi số thực, bình phương của nó cộng thêm 1 là một số nhỏ hơn hoặc bằng 0.”

Kí hiệu \(\exists \) đọc là “tồn tại”.

Cách phát biểu mệnh đề chứa kí hiệu \(\exists \):

P: “\(\exists Q \in \mathbb{R},{x^2} = 2\)”: “Tồn tại số hữu tỉ mà bình phương của nó bằng 2”.

Q: “\(\exists x \in \mathbb{R},{x^3} =  - 8\)”: Tồn tại số thực x sao cho \({x^3} =  - 8\)”.

Ví dụ minh hoạ:

“\(\forall x \in \mathbb{R},{x^2} + 2x + 2 > 0\)”  là mệnh đề đúng vì \({x^2} + 2x + 2 = {(x + 1)^2} + 1 > 0\) với mọi số thực x.

“\(\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 3x + 4 = 0\)” là mệnh đề sai vì \({x^2} + 3x + 4 = 0\) vô nghiệm \((\Delta  =  - 7 < 0)\).

Mệnh đề phủ định của “\(\forall x \in X,P(x)\)” là “\(\exists x \in X,\overline {P(x)} \)”.

Mệnh đề phủ định của “\(\exists x \in X,P(x)\)” là “\(\forall x \in X,\overline {P(x)} \)”.

Một số lưu ý:

- Phủ định của quan hệ = là quan hệ ≠ và ngược lại.

- Phủ định của quan hệ > là quan hệ ≤ và ngược lại.

- Phủ định của quan hệ < là quan hệ ≥ và ngược lại.

- Phủ định liên kết “và” là liên kết “hoặc” và ngược lại.

Ví dụ minh hoạ: