Giải mục 2 trang 61, 62, 63, 64 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 61 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow u  = (2; - 3),\overrightarrow v  = (4;1),\overrightarrow a  = (8; - 12)\).

a) Hãy biểu thị mỗi vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow v ,\overrightarrow a \) theo các vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \).

b) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v ,4.\overrightarrow u \).

c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow a \).

Phương pháp giải:

a) Vectơ \(\overrightarrow a \) có tọa độ (x;y) thì \(\overrightarrow a  = x.\overrightarrow i  + y.\overrightarrow j \).

b)

Bước 1: Tính \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v ,4.\overrightarrow u \) theo các vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \).

Bước 2: Suy ra tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow u  + \overrightarrow v ,4.\overrightarrow u \).

c)

Quan sát biểu thị theo các vectơ \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j \) của các vectơ \(\overrightarrow u ,\overrightarrow a \) để suy ra mối liên hệ.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow u  = (2; - 3)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow u  = 2.\overrightarrow i  + \left( { - 3} \right).\overrightarrow j \).

Tương tự ta có: \(\overrightarrow v  = (4;1),\overrightarrow a  = (8; - 12)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow v  = 4.\overrightarrow i  + 1.\overrightarrow j ;\overrightarrow a  = 8.\overrightarrow i  + \left( { - 12} \right).\overrightarrow j \).

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  = 2.\overrightarrow i  + \left( { - 3} \right).\overrightarrow j \\\overrightarrow v  = 4.\overrightarrow i  + 1.\overrightarrow j \end{array} \right.\) (theo câu a).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {2.\overrightarrow i  + \left( { - 3} \right).\overrightarrow j } \right) + \left( {4.\overrightarrow i  + 1.\overrightarrow j } \right)\\4.\overrightarrow u  = 4\left( {2.\overrightarrow i  + \left( { - 3} \right).\overrightarrow j } \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = \left( {2.\overrightarrow i  + 4.\overrightarrow i } \right) + \left( {\left( { - 3} \right).\overrightarrow j  + 1.\overrightarrow j } \right)\\4.\overrightarrow u  = 4.2.\overrightarrow i  + 4.\left( { - 3} \right).\overrightarrow j \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow u  + \overrightarrow v  = 6.\overrightarrow i  + \left( { - 2} \right).\overrightarrow j \\4.\overrightarrow u  = 8.\overrightarrow i  + \left( { - 12} \right).\overrightarrow j \end{array} \right.\end{array}\)

c) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}4.\overrightarrow u  = 8.\overrightarrow i  + \left( { - 12} \right).\overrightarrow j \\\overrightarrow a  = 8.\overrightarrow i  + \left( { - 12} \right).\overrightarrow j \end{array} \right.\) nên ta suy ra \(4.\overrightarrow u  = \overrightarrow a \).

HĐ4

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 62 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm \(M({x_o};{y_o})\). Gọi P, Q tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên trục hoành Ox và trục tung Oy (H.4.35).

a) Trên trục Ox, điểm P biểu diễn số nào? Biểu thị \(\overrightarrow {OP} \) theo \(\overrightarrow i \) và tính độ dài của \(\overrightarrow {OP} \) theo \({x_o}\).

b) Trên trục Oy, điểm Q biểu diễn số nào? Biểu thị \(\overrightarrow {OQ} \) theo \(\overrightarrow j \) và tính độ dài của \(\overrightarrow {OQ} \) theo \({y_o}\).

c) Dựa vào hình chữ nhật OPMQ, tính độ dài của \(\overrightarrow {OM} \) theo \({x_o},{y_o}.\)

d) Biểu thị \(\overrightarrow {OM} \) theo các vectơ \(\overrightarrow i ,\;\overrightarrow j \).

Phương pháp giải:

a) P biểu diễn hoành độ của điểm M.

b) Q biểu diễn tung độ của điểm M.

c) Tính độ dài của \(\overrightarrow {OM} \) theo các cạnh của hình chữ nhật dựa vào định lí Pytago.

d) Biểu thị \(\overrightarrow {OM} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {OP} \), \(\overrightarrow {OQ} \) (quy tắc hình bình hành).

Lời giải chi tiết:

a) Vì P là hình chiếu vuông góc của M trên Ox nên điểm P biểu diễn hoành độ của điểm M là số \({x_o}\).

Ta có: Vectơ \(\overrightarrow {OP} \) cùng phương, cùng hướng với \(\overrightarrow i \) và \(\left| {\overrightarrow {OP} } \right| = {x_o} = {x_o}.\left| {\overrightarrow i } \right|\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {OP}  = {x_o}.\overrightarrow i \).

b) Vì Q là hình chiếu vuông góc của M trên Oy nên điểm Q biểu diễn tung độ của điểm M là số \({y_o}\).

Ta có: vectơ \(\overrightarrow {OQ} \) cùng phương, cùng hướng với \(\overrightarrow j \) và \(\left| {\overrightarrow {OQ} } \right| = {y_o} = {y_o}.\left| {\overrightarrow j } \right|\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {OQ}  = {y_o}.\overrightarrow j \).

c) Ta có: \(\overrightarrow {OM}  = OM\).

Mà \(O{M^2} = O{P^2} + M{P^2} = O{P^2} + O{Q^2} = {x_o}^2 + {y_o}^2\).

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{x_o}^2 + {y_o}^2} \).

d) Ta có: Tứ giác OPMQ là hình chữ nhật, cũng là hình bình hành  nên \(\overrightarrow {OM}  = \overrightarrow {OP}  + \overrightarrow {OQ} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {OM}  = {x_o}.\;\overrightarrow i  + {y_o}.\overrightarrow j \).

HĐ5

Trả lời câu hỏi Hoạt động 5 trang 6 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(x;y) và N(x’; y’).

a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} \).

b) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} \) và tọa độ của \(\overrightarrow {MN} \).

c) Tìm độ dài của vectơ \(\overrightarrow {MN} \).

Phương pháp giải:

a) Tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} \) chính là tọa độ của M, N.

b) Biểu thị vectơ \(\overrightarrow {MN} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} \) bằng quy tắc hiệu.

Tìm tọa độ của \(\overrightarrow {MN} \) dựa vào biểu thị theo hiệu ở trên và tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {ON} \) đã biết.

c) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {MN} (a;b)\) là \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Lời giải chi tiết:

a) Vì điểm M có tọa độ (x; y) nên vectơ \(\overrightarrow {OM} \) có tọa độ (x; y).

Và điểm N có tọa độ (x’; y’) nên vectơ \(\overrightarrow {ON} \) có tọa độ (x’; y’).

b) Ta có:  \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {ON}  - \overrightarrow {OM} \) (quy tắc hiệu).

Mà \(\overrightarrow {OM} \) có tọa độ (x; y); \(\overrightarrow {ON} \) có tọa độ (x’; y’).

\( \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {x';y'} \right) - \left( {x;y} \right) = \left( {x' - x;y' - y} \right)\).

c) Vì \(\overrightarrow {MN} \) có tọa độ \(\left( {x' - x;y' - y} \right)\) nên \(\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{{\left( {x' - x} \right)}^2} + {{\left( {y' - y} \right)}^2}} \).

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 6 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 1), B(3; 3).

a) Các điểm O, A, B có thẳng hàng hay không?

b) Tìm điểm M(x; y) để OABM là một hình hành.

Phương pháp giải:

a) Các điểm O, A, B thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ \(\overrightarrow {OA} ,\;\overrightarrow {OB} \) cùng phương.

b) OABM là một hình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {MB} \).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( {2;1} \right)\) ( do A(2; 1)) và \(\overrightarrow {OB}  = \left( {3;3} \right)\) (do B (3; 3)).

Hai vectơ này không cùng phương (vì \(\frac{2}{3} \ne \frac{1}{3}\)).

Do đó các điểm O, A, B không cùng nằm trên một đường thẳng.

Vậy chúng không thẳng hàng.

b) Các điểm O, A, B không thẳng hàng nên OABM là một hình hành khi và chỉ khi \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {MB} \).

Do \(\overrightarrow {OA}  = \left( {2;1} \right),\quad \overrightarrow {MB}  = \left( {3 - x;3 - y} \right)\) nên

\(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 = 3 - x\\1 = 3 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)

Vậy điểm cần tìm là M (1; 2).

VD

Trả lời câu hỏi Vận dụng trang 64 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Từ thông tin dự báo được đưa ra ở đầu bài học, hãy xác định tọa độ vị trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng thời gian 12 giờ của dự báo.

Lời giải chi tiết:

Gọi tọa độ điểm M là (x; y).

Theo dự báo, tại thời điểm 9 giờ, tâm bão đã đi được \(\frac{9}{{12}} = \frac{3}{4}\) khoảng cách từ A tới B.

Hay \(AM = \frac{3}{4}.AB \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{3}{4}.\overrightarrow {AB} \) (*)

Mà \(\overrightarrow {AM}  = \left( {x - 13,8;y - 108,3} \right)\), \(\overrightarrow {AB}  = \left( {14,1 - 13,8;106,3 - 108,3} \right) = \left( {0,3; - 2} \right)\).

Do đó \((*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 13,8 = \frac{3}{4}.0,3\\y - 108,3 = \frac{3}{4}.\left( { - 2} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 14,025\\y = 106,8\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ điểm M là (14,025; 106,8).