Giải mục 1 trang 34, 35 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 34 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

a) Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị trong mỗi trường hợp sau:

\(\begin{array}{l}\alpha  = {90^o};\\\alpha  < {90^o};\\\alpha  > {90^o}.\end{array}\)

b) Khi \({0^o} < \alpha  < {90^o}\), nêu mối quan hệ giữa \(\cos \alpha ,\;\sin \alpha \) với hoành độ và tung độ của điểm M.

Phương pháp giải:

a) Quan sát góc \(\alpha  = \widehat {xOM}\) trong các trường hợp tương ứng. Khi ấy M thuộc cung nào?

b) Khi \({0^o} < \alpha  < {90^o}\) thì \(\cos \alpha  = \frac{{\left| {{x_0}} \right|}}{{OM}},\;\sin \alpha  = \frac{{\left| {{y_0}} \right|}}{{OM}};\) trong đó \(OM = R = 1\).

Lời giải chi tiết:

a) Khi \(\alpha  = {90^o}\), điểm M trùng với điểm C. (Vì \(\widehat {xOC} = \widehat {AOC} = {90^o}\))

Khi \(\alpha  < {90^o}\), điểm M thuộc vào cung AC (bên phải trục tung);

Khi \(\alpha  > {90^o}\), điểm M thuộc vào cung BC (bên trái trục tung).

b) Khi \({0^o} < \alpha  < {90^o}\) , ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \alpha  = \frac{{\left| {{x_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{x_0}} \right| = {x_0};\\\sin \alpha  = \frac{{\left| {{y_0}} \right|}}{{OM}} = \left| {{y_o}} \right| = {y_o}\end{array}\).

Vì \(OM = R = 1\); \({x_0} \in \)tia \(Ox\)nên \({x_0} > 0\); \({y_0} \in \)tia \(Oy\)nên \({y_0} > 0\).

Vậy \(\cos \alpha \) là hoành độ \({x_0}\) của điểm M, \(\sin \alpha \) là tung độ \({y_0}\) của điểm M.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 35 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Tìm các giá trị lượng giác của góc \({120^o}\) (H.3.4).

Phương pháp giải:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = {120^o}\).

Khi đó hoành độ và tung độ của điểm M lần lượt là các giá trị \(\cos {120^o},\;\sin {120^o}\).

Từ đó suy ra \(\tan {120^o} = \dfrac{{\sin {{120}^o}}}{{\cos {{120}^o}}},\;\cot {120^o} = \dfrac{{\cos {{120}^o}}}{{\sin {{120}^o}}}.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \(\widehat {xOM} = {120^o}\)

Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox, Oy.

Vì  \(\widehat {xOM} = {120^o} > {90^o}\) nên M nằm bên trái trục tung.

Khi đó: \(\cos {120^o} =  -{ON} ,\;\sin {120^o} =  {OP} \).

Vì \(\widehat {xOM} = {120^o}\) nên \(\widehat {NOM} = {180^o} - {120^o} = {60^o}\) và \(\widehat {POM} = {120^o} - {90^o} = {30^o}\).

Vậy các tam giác \(\Delta MON\) và \(\Delta MOP\) vuông tại N, p và có một góc bằng \({30^o}\)

\( \Rightarrow ON = MP = \frac{1}{2}OM = \frac{1}{2}\) (trong tam giác vuông, cạnh đối diện góc \({30^o}\) bằng một nửa cạnh huyền).

Và \(OP = MN = \sqrt {O{M^2} - O{N^2}}  \)

\(= \sqrt {{1^2} - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy điểm M có tọa độ là \(\left( { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).

Và \(\cos {120^o} =  - \frac{1}{2};\;\sin {120^o} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \tan {120^o} = \frac{{\sin {{120}^o}}}{{\cos {{120}^o}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}:\left( { - \frac{1}{2}} \right) =  - \sqrt 3 ;\\\cot {120^o} = \frac{{\cos {{120}^o}}}{{\sin {{120}^o}}} = \left( { - \frac{1}{2}} \right):\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{3}.\end{array}\)

Chú ý

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính các giá trị lượng giác góc \({120^o}\)

Với các loại máy tính fx-570 ES (VN hoặc VN PLUS) ta làm như sau:

Bấm phím “SHIFT”  “MODE” rồi bấm phím “3” (để chọn đơn vị độ)

Tính \(\sin {120^o}\), bấm phím:  sin  1  2  0  \(^o\)’’’  = ta được kết quả là \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Tính \(\cos {120^o}\),bấm phím:  cos  1  2  0  \(^o\)’’’  = ta được kết quả là \(\frac{{ - 1}}{2}\)

Tính \(\tan {120^o}\), bấm phím:  tan  1  2  0  \(^o\)’’’  = ta được kết quả là \( - \sqrt 3 \)

( Để tính \(\cot {120^o}\), ta tính \(1:\tan {120^o}\))