Giải mục 1 trang 2, 3, 4 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 2 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Một hòn đá được thả rơi tự do từ miệng của một giếng cạn. Biết rằng vận tốc của hòn đá tại thời điểm t giây tính từ lúc bắt đầu thả được tính bởi v(t)=10t (m/s).

a) Tìm hàm số s(t) mô tả quãng đường chuyển động (tính theo mét) của hòn đá sau t giây kể từ khi được thả.

b) Tính độ sâu của giếng, biết thời gian rơi tự do của hòn đá là 2,2 giây.

Phương pháp giải:

a)

- Sử dụng mối quan hệ giữa vận tốc và quãng đường trong chuyển động thẳng đều biến đổi, ta có:

\(v(t) = \frac{{ds(t)}}{{dt}}\)

- Tích phân v(t) theo t để tìm s(t).

b) Tính giá trị s(t) tại t = 2,2 giây, đây chính là độ sâu của giếng.

Lời giải chi tiết:

a)

Vận tốc của hòn đá được cho bởi:

\(v(t) = 10t{\mkern 1mu} ({\rm{m/s)}}\)

Quãng đường s(t) được tính bằng cách tính nguyên hàm vận tốc theo thời gian:

\(s(t) = \int v (t){\mkern 1mu} dt = \int 1 0t{\mkern 1mu} dt\)

Thực hiện nguyên hàm:

\(s(t) = 10\int t {\mkern 1mu} dt = 10\left( {\frac{{{t^2}}}{2}} \right) + C = 5{t^2} + C\)

Vì tại thời điểm t = 0, hòn đá bắt đầu được thả từ miệng giếng, nên s(0) = 0. Do đó:

\(s(0) = 5{(0)^2} + C = 0 \Rightarrow C = 0\)

Vậy phương trình quãng đường là:

\(s(t) = 5{t^2}{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

b)

Để tính độ sâu của giếng, ta tính quãng đường s(t) tại t = 2,2 giây:

\(s(2,2) = 5{(2,2)^2} = 5 \times 4,84 = 24,2{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

Vậy độ sâu của giếng là 24,2 mét.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Giải thích vì sao \(F(x) = x + \cos x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 1 - \sin x\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Hàm số \(G(x) = \sqrt x \) có là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên khoảng \((0; + \infty )\) không? Giải thích.

Phương pháp giải:

a) Để kiểm tra \(F(x)\) có phải là nguyên hàm của \(f(x)\) không, ta cần tính đạo hàm của \(F(x)\) và so sánh với \(f(x)\).

b) Để kiểm tra \(G(x)\) có phải là nguyên hàm của \(g(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\) không, ta cần tính đạo hàm của \(G(x)\) và so sánh với \(g(x)\).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có hàm \(F(x) = x + \cos x\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):

\(F'(x) = \frac{d}{{dx}}(x + \cos x) = 1 - \sin x\)

Nhận thấy \(F'(x) = f(x)\), do đó \(F(x) = x + \cos x\) là một nguyên hàm của \(f(x) = 1 - \sin x\) trên \(\mathbb{R}\).

b) Ta có hàm \(G(x) = \sqrt x \). Tính đạo hàm của \(G(x)\):

\(G'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\sqrt x } \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Nhận thấy \(G'(x) = g(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\), do đó \(G(x) = \sqrt x \) là một nguyên hàm của \(g(x) = \frac{1}{{2\sqrt x }}\) trên khoảng \((0; + \infty )\).

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 3 SGK Toán 12 Cùng khám phá

a) Các hàm số \({F_1}(x) = \sin x\), \({F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 \), \({F_3}(x) = \sin x - 2\) là những nguyên hàm của hàm số nào?

b) Vì sao hàm số \(F(x) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\)? Tìm thêm hai nguyên hàm khác của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).

Phương pháp giải:

a)

- Xét đạo hàm của các hàm số \({F_1}(x)\), \({F_2}(x)\), và \({F_3}(x)\) để xác định hàm số chung mà các hàm này là nguyên hàm.

b)

- Xét đạo hàm của \(F(x) = \ln x\) để chứng minh đây là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\)

- Sử dụng tính chất của nguyên hàm để tìm thêm hai nguyên hàm khác của \(f(x)\) trên khoảng \((0; + \infty )\).

Lời giải chi tiết:

a)

Ta có các hàm số:

\({F_1}(x) = \sin x,\quad {F_2}(x) = \sin x + \sqrt 3 ,\quad {F_3}(x) = \sin x - 2\)

 Tính đạo hàm của các hàm số này:

\(F_1'(x) = \cos x,\quad F_3'(x) = \cos x,\quad F_3'(x) = \cos x\)

 Như vậy, cả ba hàm số \({F_1}(x)\), \({F_2}(x)\), và \({F_3}(x)\) đều là nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \cos x\).

b)

Xét hàm số \(F(x) = \ln x\). Tính đạo hàm của \(F(x)\):

\(F'(x) = \frac{d}{{dx}}(\ln x) = \frac{1}{x}\)

 Do đó, \(F(x) = \ln x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{x}\) trên khoảng \((0; + \infty )\).

Từ tính chất của nguyên hàm, ta có thể tìm thêm hai nguyên hàm khác của \(f(x) = \frac{1}{x}\) bằng cách thêm hằng số vào nguyên hàm \(F(x)\). Cụ thể:

\({F_1}(x) = \ln x + {C_1},\quad {F_2}(x) = \ln x + {C_2}\)

 Với \({C_1}\) và \({C_2}\) là các hằng số tuỳ ý, ví dụ:

\({F_1}(x) = \ln x + 1,\quad {F_2}(x) = \ln x - 2\)

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 4 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Cho \(\int {f(x)dx = \sin x + \cos x + C.} \) Tính \(f(\pi )\).

Phương pháp giải:

- Khi biết một phương trình nguyên hàm như \(\int f (x){\mkern 1mu} dx = g(x) + C\), để tìm hàm số \(f(x)\), cần lấy đạo hàm của \(g(x) + C\) đối với \(x\).

- Đạo hàm của \(g(x)\) chính là hàm số \(f(x)\), vì \(\frac{d}{{dx}}\left( {\int f (x){\mkern 1mu} dx} \right) = f(x)\).

- Sau khi xác định được hàm \(f(x)\), thay giá trị \(x\) cần tính vào hàm \(f(x)\) để tìm kết quả cụ thể.

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài, ta có:

\(\int {f(x){\mkern 1mu} dx}  = \sin x + \cos x + C\)

 Đạo hàm hai vế của phương trình này với \(x\), ta được:

\(f(x) = \frac{d}{{dx}}(\sin x + \cos x + C)\)

 Tính đạo hàm của từng hạng tử:

\(f(x) = \cos x - \sin x\)

 (Vì \(C\) là hằng số, nên \(\frac{{dC}}{{dx}} = 0\)).

Thay \(x = \pi \) vào hàm \(f(x)\):

\(f(\pi ) = \cos (\pi ) - \sin (\pi )\)

 Biết rằng:

\(\cos (\pi ) =  - 1\quad {\rm{và }}\quad \sin (\pi ) = 0\)

 Do đó:

\(f(\pi ) =  - 1 - 0 =  - 1\)