Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá


Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem (t = 0) là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số (T(t)). Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi (T'(t) = - frac{3}{2}{e^{ - frac{t}{{50}}}})(°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm (t = 30) phút.

Đề bài

Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem \(t = 0\) là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số \(T(t)\). Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi \(T'(t) =  - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\)(°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm \(t = 30\) phút.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tính nhiệt độ của nước tại thời điểm \(t = 30\) phút, ta làm như sau:

- Tìm hàm nhiệt độ \(T(t)\) dựa vào hàm \(T'(t) =  - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\) bằng cách áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ \(\int {{a^x}dx}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\).

- Xác định C từ điều kiện \(T(0) = 95\).

- Thay \(t = 30\) vào \(T(t)\) và tính nhiệt độ.

Quảng cáo

Lộ trình SUN 2026

Lời giải chi tiết

Ta biết rằng tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm \(t\) phút được cho bởi:

\(T'(t) =  - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}\).

Để tìm hàm số \(T(t)\), ta sẽ tích phân hàm \(T'(t)\):

\(\int {\left( { - \frac{3}{2}{e^{ - \frac{t}{{50}}}}} \right)dt}  =  - \frac{3}{2}\int {\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}.t}}} \right)dt}  =  - \frac{3}{2}\int {{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)}^t}dt} \)

\( =  - \frac{3}{2}.\frac{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)t}}{{\ln \left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)}} + C =  - \frac{3}{2}.\frac{{\left( {{e^{ - \frac{1}{{50}}}}} \right)t}}{{^{ - \frac{1}{{50}}}}} + C = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + C\).

Vậy hàm số \(T(t)\) có dạng:

\(T(t) = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + C\).

Theo đề bài khi \(t = 0\) phút, nhiệt độ của nước là 95°C:

\(T(0) = 95\)

\(95 = 75{e^0} + C\)

\(95 = 75 + C\)

\(C = 20\).

Vậy hàm số \(T(t)\) là:

\(T(t) = 75{e^{ - \frac{t}{{50}}}} + 20\).

Thay \(t = 30\) vào hàm số \(T(t)\):

\(T(30) = 75{e^{ - \frac{{30}}{{50}}}} + 20 = 75{e^{ - \frac{3}{5}}} + 20 \approx 61,16\).

Vậy nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm \(t = 30\) phút là khoảng \(61,16^\circ C\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí