Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài 1. Nguyên hàm - Toán 12 Cùng khám phá

Giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá


Tìm: a) \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\) b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) c) \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\)

Đề bài

Tìm:

a) \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\)

b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)

c) \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng các phương pháp tích phân từng phần, đổi biến và áp dụng các công thức tích phân cơ bản.

Lời giải chi tiết

a) Để tính \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\), ta sử dụng phép đổi biến \({4^{\frac{x}{2}}} = {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\), do đó:

\(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{2^x}du}  = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)

b) Tích phân \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) có thể được viết lại dưới dạng:

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = \int {\frac{1}{{{{\left( {\sin x\cos x} \right)}^2}}}dx = \int {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}} } dx\)

Đặt \(u = 2x\) suy ra \(du = 2dx\), do đó:

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}} du =  - 2\cot u + C =  - 2\cot 2x + C\)

c) Tích phân \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\) có thể được tách ra thành hai tích phân riêng:

\(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2\int {{e^x}} dx + \frac{1}{3}\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} \)

Tính từng tích phân:

\(2\int {{e^x}} dx = 2{e^x} + {C_1},\quad \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} x{\mkern 1mu} dx = \frac{1}{3}\tan x + {C_2}\)

Vậy kết quả là:

\(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ - x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2{e^x} + \frac{1}{3}\tan x + C\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store