Giải bài tập 5.29 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó. a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 5z + 30 = 0\); b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z = 0\); c) \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 2x + 6y - 9z - 10 = 0\); d) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5 = 0\).

Đề bài

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 5z + 30 = 0\);

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z = 0\);

c) \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 2x + 6y - 9z - 10 = 0\);

d) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5 = 0\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tính: Với a, b, c, d là các hằng số, phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có thể viết lại thành \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Khi đó, (S) có tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Lời giải chi tiết

a) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 1,b = 0,c = \frac{5}{2},d = 30\).

Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {1^2} + {0^2} + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 30 = \frac{{ - 91}}{4} < 0\). Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

b) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 2,b = - 1,c = 1,d = 0\).

Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {1^2} - {0^2} = 6 > 0\). Do đó, phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm \(\left( {2; - 1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \).

c) Phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

d) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 0,b = 0,c = 0,d = 5\).

Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {0^2} + {0^2} + {0^2} - {5^2} = - 25 < 0\). Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 5.30 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí \(A\left( {2;0;0} \right).\) Vùng phủ sóng của thiết bị có bán kính bằng 1. Hỏi vị trí \(M\left( {2;1;1} \right)\) có thuộc vùng phủ sóng của thiết bị nói trên hay không?
Giải bài tập 5.28 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2y + 8z - 18 = 0\). Xác định tâm, tính bán kính của (S).
Giải bài tập 5.27 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {0;3; - 1} \right)\) và có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 2y - z = 0\).
Giải bài tập 5.26 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm \(I\left( { - 2;0;5} \right)\) và bán kính \(R = 2\).
Giải bài tập 5.25 trang 59 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 9\). Xác định tâm và bán kính của (S).
Giải câu hỏi trang 58 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí B: \({45^o}N,{30^o}E\).
Giải mục 1 trang 54,55,56 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức
PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
Lý thuyết Phương trình mặt cầu Toán 12 Kết nối tri thức
1. Phương trình mặt cầu