Giải bài tập 2.37 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’. a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AA'} \). b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.
a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AA'} \).
b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) được gọi là bằng nhau, kí hiệu \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \), nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Sử dụng kiến thức về trung điểm của đoạn thẳng để chứng minh: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với điểm M tùy ý ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \).

Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)

Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để chứng minh: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \)

b) Sử dụng kiến thức về 2 vectơ cùng phương để chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu \(\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \) thì hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \) cùng phương và 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

Gọi I là giao điểm của AC và BD. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của BD. Do đó, A’I là đường trung tuyến của tam giác A’BD. Mà G là trọng tâm tam giác A’BD nên \(\overrightarrow {A'G} = \frac{2}{3}\overrightarrow {A'I} \).

Vì I là trung điểm BD nên \(\overrightarrow {A'I} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'B} + \overrightarrow {A'D} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} + \overrightarrow {A'A} } \right) = - \overrightarrow {AA'} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \)

Do đó, \(\overrightarrow {A'G} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \)

Ta có: \(\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G} = \overrightarrow {AA'} - \frac{2}{3}\overrightarrow {AA'} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\)

b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \)

Do đó, \(\overrightarrow {AC'} = 3\overrightarrow {AG} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AC'} \) và \(\overrightarrow {AG} \) cùng phương. Vậy ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài tập 2.40 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;1; - 1} \right)\). a) Xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b \). b) Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow u \). c) Tính \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).
Giải bài tập 2.39 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ và các điểm \(A\left( {2;3;1} \right),C\left( { - 1;2;3} \right)\) và \(O'\left( {1; - 2;2} \right)\). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Giải bài tập 2.38 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)\) và \(C\left( { - 1;0;2} \right)\). a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.
Giải bài tập 2.42 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà 0,5m, cách hai tường lần lượt là 1,2m và 1,6m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4m, cách hai tường đều là 1,5m. a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển. b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Giải bài tập 2.41 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {4;2; - 1} \right),B\left( {1; - 1;2} \right)\) và \(C\left( {0; - 2;3} \right)\). a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và tính độ dài đoạn thẳng AB. b) Tìm tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow 0 \). c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.
Giải bài tập 2.36 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho tứ diện ABCD, lấy hai điểm M, N thỏa mãn (overrightarrow {MB} + 2overrightarrow {MA} = overrightarrow 0 ) và (overrightarrow {NC} = 2overrightarrow {DN} ). Hãy biểu diễn (overrightarrow {MN} ) theo (overrightarrow {AD} ) và (overrightarrow {BC} ).
Giải bài tập 2.35 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} \).
Giải bài tập 2.34 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( { - 2;2;2} \right),\overrightarrow b = \left( {1; - 1; - 2} \right)\). Côsin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng A. \(\frac{{ - 2\sqrt 2 }}{3}\). B. \(\frac{{2\sqrt 2 }}{3}\). C. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\). D. \(\frac{{ - \sqrt 2 }}{3}\).
Giải bài tập 2.33 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {0; - 1;1} \right)\). Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng A. \({60^0}\). B. \({135^0}\). C. \({120^0}\). D. \({45^0}\).
Giải bài tập 2.32 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {2;1; - 3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2; - 1;2} \right)\). Tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) bằng A. \( - 2\). B. \( - 11\). C. 11. D. 2.
Giải bài tập 2.31 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho \(A\left( {1;0; - 1} \right),B\left( {0; - 1;2} \right)\) và \(G\left( {2;1;0} \right)\). Biết tam giác ABC có trọng tâm G. Tọa độ của điểm C là A. \(\left( {5;4; - 1} \right)\). B. \(\left( { - 5; - 4;1} \right)\). C. \(\left( {1;2; - 1} \right)\). D. \(\left( { - 1; - 2;1} \right)\)
Giải bài tập 2.30 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho hình bình hành ABCD có \(A\left( { - 1;0;3} \right),B\left( {2;1; - 1} \right)\) và \(C\left( {3;2;2} \right)\). Tọa độ của điểm D là A. \(\left( {2; - 1;0} \right)\). B. \(\left( {0; - 1; - 6} \right)\). C. \(\left( {0;1;6} \right)\). D. \(\left( { - 2;1;0} \right)\).
Giải bài tập 2.29 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;2} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2;0;3} \right)\). Khẳng định nào dưới đây là sai? A. \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( { - 1; - 2;5} \right)\). B. \(\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {3; - 2; - 1} \right)\). C. \(3\overrightarrow a = \left( {3; - 2;2} \right)\). D. \(2\overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {0; - 4;7} \right)\).
Giải bài tập 2.28 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, gọi M là trung điểm của đoạn thẳng CD. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AM} \) bằng A. \(\frac{{{a^2}}}{4}\). B. \(\frac{{{a^2}}}{2}\). C. \(\frac{{{a^2}}}{3}\). D. \({a^2}\).
Giải bài tập 2.27 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào dưới đây là sai? A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AB'} \). B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \). C. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AD'} \). D. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AC'} \).
Giải bài tập 2.26 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Lấy M là trung điểm của đoạn thẳng CC’. Vectơ \(\overrightarrow {AM} \) bằng A. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \). B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \). C. \(\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} \). D. \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).
Giải bài tập 2.25 trang 73 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho tứ diện ABCD. Lấy G là trọng tâm của tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây là sai? A. \(\overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {DG} = \overrightarrow 0 \). B. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \). C. \(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} = 3\overrightarrow {BG} \). D. \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \).