Giải bài tập 2.38 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức


Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)\) và \(C\left( { - 1;0;2} \right)\). a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {2; - 1;3} \right),B\left( {1;1; - 1} \right)\) và \(C\left( { - 1;0;2} \right)\).
a) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc trục Oz sao cho đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng \(A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)\) và \(C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)\). Khi đó, tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: \(\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)\).

b) Sử dụng kiến thức về tọa độ của điểm trong không gian để tính: Nếu điểm A thuộc trục Oz thì tọa độ của điểm A là A(0; 0; z).

Sử dụng kiến thức về nhận xét biểu thức tọa độ tích vô hướng trong không gian để giải: Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a  = \left( {x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow b  = \left( {x';y';z'} \right)\) là hai vectơ khác \(\overrightarrow 0 \). Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu \(xx' + yy' + zz' = 0\)

Lời giải chi tiết

a) Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{{2 + 1 - 1}}{3} = \frac{2}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ - 1 + 1 + 0}}{3} = 0\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = \frac{{3 - 1 + 2}}{3} = \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

Vậy tọa độ trọng tâm G là: G\(\left( {\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}} \right)\).

b) Vì M thuộc trục Oz nên M(0; 0; z).

Ta có: \(\overrightarrow {BM} \left( { - 1; - 1;z + 1} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 3;1; - 1} \right)\)

Vì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC nên

\(\overrightarrow {BM} .\overrightarrow {AC}  = 0 \Leftrightarrow \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).1 + \left( {z + 1} \right)\left( { - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 2 - z - 1 = 0 \Leftrightarrow z = 1\).

Vậy M(0; 0; 1) thì đường thẳng BM vuông góc với đường thẳng AC.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Giải bài tập 2.42 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Hình 2.53 minh họa một chiếc đèn được treo cách trần nhà 0,5m, cách hai tường lần lượt là 1,2m và 1,6m. Hai bức tường vuông góc với nhau và cùng vuông góc với trần nhà. Người ta di chuyển chiếc đèn đó đến vị trí mới cách trần nhà là 0,4m, cách hai tường đều là 1,5m. a) Lập một hệ trục tọa độ Oxyz phù hợp và xác định tọa độ của bóng đèn lúc đầu và sau khi di chuyển. b) Vị trí mới của bóng đèn cách vị trí ban đầu là bao nhiêu mét? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

  • Giải bài tập 2.41 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( {4;2; - 1} \right),B\left( {1; - 1;2} \right)\) và \(C\left( {0; - 2;3} \right)\). a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và tính độ dài đoạn thẳng AB. b) Tìm tọa độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow 0 \). c) Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (Oxy), sao cho A, B, N thẳng hàng.

  • Giải bài tập 2.39 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Trong không gian Oxyz, cho hình hộp OABC.O’A’B’C’ và các điểm \(A\left( {2;3;1} \right),C\left( { - 1;2;3} \right)\) và \(O'\left( {1; - 2;2} \right)\). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.

  • Giải bài tập 2.40 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\overrightarrow a = \left( { - 2;1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;1; - 1} \right)\). a) Xác định tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b \). b) Tính độ dài vectơ \(\overrightarrow u \). c) Tính \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).

  • Giải bài tập 2.37 trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

    Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’. a) Biểu diễn \(\overrightarrow {AG} \) theo \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AA'} \). b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí