Giải bài tập 2.2 trang 54 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy

\(a\) và đường cao \(h\). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD và O, H lần lượt là tâm của các hình vuông ABCD, MNPQ (Hình 2.6).

a) Trong những vectơ khác \(\vec O\), có điểm đầu và điểm cuối là những điểm cho trên hình, hãy liệt kê các vectơ:

- Cùng hướng với \(\overrightarrow {MN} \);

- Bằng \(\overrightarrow {MN} \).

b) Tìm độ dài các vectơ \(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MS} \) theo \(a\) và \(h\).

Lời giải chi tiết

a) Liệt kê các vectơ

- Cùng hướng với \(\overrightarrow {MN} \):

Vectơ cùng hướng với \(\overrightarrow {MN} \) là các vectơ có phương và chiều giống với \(\overrightarrow {MN} \), cụ thể là: \(\overrightarrow {QP} \), \(\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {DC} \).

- Bằng \(\overrightarrow {MN} \):

Vectơ bằng \(\overrightarrow {MN} \) là các vectơ có độ dài và phương chiều giống với \(\overrightarrow {MN} \), cụ thể là: \(\overrightarrow {QP} \)

b) Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {MS} \)

- Tính độ dài \(\overrightarrow {MP} \):

Ta xét tam giác đều SAC có MP là đường trung bình của tam giác đều SAC

\(MP = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt 2 \) (AC là đường chéo của hình vuông ABCD)

Do đó: \(\overrightarrow {MP}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

- Tính độ dài \(\overrightarrow {MS} \):

Ta xét tam giác vuông SOA với \(O\) là tâm của hình vuông đáy ABCD:

\(SA = \sqrt {{h^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \)

Vì \(M\) là trung điểm của SA, ta có: \(SM = \frac{1}{2}SA = \frac{1}{2}\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \)

Do đó: \(\overrightarrow {MS}  = \frac{1}{2}\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{2}} \)