Giải bài tập 1.27 trang 36 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong Vật lý, điện trở tương đương \({R_{td}}\) của hai điện trở \({R_1},{R_2}\) mắc song song được xác định bởi công thức\(\frac{1}{{{R_{td}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}}\). Biết rằng \({R_2} = 3\Omega \). Đặt \({R_1} = x(\Omega ),x > 0\).

a) Tính \({R_{td}}\) theo \(x\), xem biểu thức tính được này là một hàm số \(y = f(x)\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số \(f(x)\) với \(x > 0\).

b) Khi \(x\) tăng, điện trở \({R_{td}}\) thay đổi như thế nào? \({R_{td}}\) không thể vượt qua giá trị bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

a)

- Tính \({R_{td}}\) theo \(x\) :

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{R_{td}}}} = \frac{1}{{{R_1}}} + \frac{1}{{{R_2}}} = \frac{1}{x} + \frac{1}{3}\\\frac{1}{{{R_{td}}}} = \frac{{3 + x}}{{3x}}\\{R_{td}} = \frac{{3x}}{{3 + x}}\end{array}\)

Vậy hàm số cần khảo sát là: \(y = f(x) = \frac{{3x}}{{3 + x}}\)

- Tập xác định: \(D = \{ x > 0,x \in R\} \)

- Đạo hàm: \({f^\prime }(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{{3x}}{{3 + x}}} \right) = \frac{{3(3 + x) - 3x}}{{{{(3 + x)}^2}}} = \frac{9}{{{{(3 + x)}^2}}} > 0\forall x \in R\)

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng \((0, + \infty )\).

- Giới hạn:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{3x}}{{3 + x}} = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x}}{{3 + x}} = 3\)

- Vẽ đồ thị:

Đồ thị hàm số ?(?) là đường cong đi qua các điểm (0,0) và (?,?) với ?>0, tiệm cận ngang ?=3.

b)

- Khi x tăng, \({R_{td}}\) cũng tăng nhưng tiệm cận về giá trị 3.

- Vậy, \({R_{td}}\) không thể vượt quá giá trị 3.