Toán 12 Cùng khám phá | Giải toán lớp 12 Cùng khám phá Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - Toán 12 Cùng khám..

Giải mục 3 trang 28 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá


Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (y = f(x) = frac{{2x + 4}}{{2x + 1}}).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 28 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = f(x) = \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}}.\)

Phương pháp giải:

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Xét sự biến thiên của hàm số.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

- Tập xác định: \({\rm{D}} = {\rm{R}}\backslash \left\{ {\frac{{ - 1}}{2}} \right\}\).

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} = 1.\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} = 1.\)

Suy ra đường thẳng \({\rm{y}} = 1\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} =  + \infty \)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} =  - \infty \)

Suy ra đường thẳng \({\rm{x}} = \frac{{ - 1}}{2}\). là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: \({y^\prime } = \frac{{ - 6}}{{{{(2x + 1)}^2}}} < 0.\)

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ,\frac{{ - 1}}{2}} \right)\) và \(\left( {\frac{{ - 1}}{2}, + \infty } \right)\)

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

- Vẽ đồ thị:

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 28 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Ở một bể chứa nước có chứa 1000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào bể nước với tốc độ là 25 lít/phút.

a) Chứng minh rằng nồng độ muối của nước trong bể sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là: \(C(t) = \frac{{30t}}{{40 + t}}.\)

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = C(t)\) sau 10 tiếng kể từ lúc bắt đầu bơm, từ đó nhận xét về nồng độ muối trong bể khi thời gian ttt càng lớn.

Phương pháp giải:

a)

Tính lượng nước biển bơm vào sau ? phút.

Tính tổng lượng nước trong bể sau ? phút.

Tính lượng muối bơm vào bể sau ? phút.

Tính nồng độ muối ?(?).

b)

Tính giới hạn của C(t) khi \(t \to \infty \).

Tính đạo hàm của C(t).

Xét dấu của đạo hàm C’(t).

Từ dấu của đạo hàm và giới hạn khi \(t \to \infty \)kết luận về sự biến thiên và giá trị tiệm cận của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a)

Lượng nước biển bơm vào sau \(t\) phút: \(V = 25t\) lít.

Tổng lượng nước trong bể sau \(t\) phút: \(1000 + 25t\) lít.

Lượng muối bơm vào bể sau \(t\) phút: \(30.25t = 750t {\rm{gam}}.\)

Nồng độ muối \(C(t) = \frac{{750t}}{{1000 + 25t}} = \frac{{750t}}{{25(40 + t)}} = \frac{{30t}}{{40 + t}}.\)

b)

Vì t là thời gian nên tập xác định của hàm số

\({\rm{y}} = C(t)\) là t > 0.

Giới hạn của \(C(t)\) khi \(t \to \infty \) : \(\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{30t}}{{40 + t}} = 30.\)

Đạo hàm của \(C(t)\) : \({C^\prime }(t) = \frac{{30.(40 + t) - 30t.1}}{{{{(40 + t)}^2}}} = \frac{{1200 + 30t - 30t}}{{{{(40 + t)}^2}}} = \frac{{1200}}{{{{(40 + t)}^2}}}.\)

Nhận thấy \({C^\prime }(t) > 0\forall t > 0.\)

Vậy nồng độ muối trong bể tăng dần khi thời gian \(t\) càng lớn.

Khi \(t \to \infty \), nồng độ muối trong bể tiệm cận 30 gam/lít.


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải mục 4 trang 30 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây: a) (y = frac{{ - {x^2} - 2x - 2}}{{x + 1}}) b) ({rm{y}} = frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}})

  • Giải mục 5 trang 33, 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Trong đợt chào mừng kỷ niệm ngày 26 tháng 3, trường X có tổ chức cho các lớp bày các gian hàng tại sân trường. Để có thể che nắng, chứa đồ đạc trong quá trình tham gia hoạt động, một lớp đã nghĩ ra ý tưởng như sau: Dựng trên mặt đất bằng phẳng một chiếc lều từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều rộng là 4m và chiều dài là 6m, bằng cách gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều dài của tấm bạt, hai mép chiều rộng còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau x (m). Tìm x để khoảng

  • Giải bài tập 1.20 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) (y = {x^3} + 3{x^2} - 4) b) (y = {x^3} + 4{x^2} + 4x) c) (y = - 2{x^3} + 2) d) (y = - {x^3} - {x^2} - x + 1)

  • Giải bài tập 1.21 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: a) \(y = \frac{{x - 2}}{{2x + 1}}\) b) \(y = \frac{{1 - 2x}}{{2x + 4}}\)

  • Giải bài tập 1.22 trang 34 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá

    Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau đây: a) (y = frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}) b) ({rm{y}} = frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 2}}) c)(y = - x + 1 + frac{1}{{x + 1}}) d)(y = frac{{2{x^2} - x + 1}}{{1 - x}})

>> Xem thêm

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store