Giải bài 8.12 trang 51 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xét biến cố \(A\): “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”

Đề bài

Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xét biến cố \(A\): “Có ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt 5 chấm”, \(B\): “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 7”. Chứng tỏ rằng \(A\) và \(B\) không độc lập.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tính \(P(A),P(B),P(AB)\)

\(P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)\) suy ra hai biến cố \(A\) và \(B\) độc lập với nhau

\(P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)\) suy ra hai biến cố \(A\) và \(B\) không độc lập với nhau

Lời giải chi tiết

Tính \(P\left( A \right)\)

Xét biến cố đối \(\overline A :\) “ Cả hai con xúc xắc không xuất hiện mặt 5 chấm”,\(\overline A = \left\{ {\left( {a,b} \right):a,b \in \left\{ {1;2;3;4;6} \right\}} \right\}\). Ta có \(n\left( {\overline A } \right) = 25\); \(n\left( \Omega \right) = 36\).

Vậy \(P\left( {\overline A } \right) = \frac{{25}}{{36}}\), do đó \(P\left( A \right) = 1 - \frac{{25}}{{36}} = \frac{{11}}{{36}}\).

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{1}{4}\).

Tính \(P\left( B \right)\), Ta có \(B = \left\{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,5} \right);\left( {3,4} \right);\left( {4,3} \right);\left( {5,2} \right);\left( {6,1} \right)} \right\}\), \(n\left( B \right) = 6\).

Vậy \(P\left( B \right) = \frac{6}{{36}}\).

Tính \(P\left( {AB} \right)\), Ta có \(AB = A \cap B = \left\{ {\left( {2,5} \right);\left( {5,2} \right)} \right\}\), \(n\left( {A \cap B} \right) = 2\).

Vậy \(P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{36}}\).

Ta có \(P\left( {AB} \right) = \frac{2}{{36}} = \frac{{72}}{{{{36}^2}}};P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{{11}}{{36}}.\frac{6}{{36}} = \frac{{66}}{{{{36}^2}}}\).

Suy ra: \(P\left( {AB} \right) \ne P\left( A \right).P\left( B \right)\).

Vậy \(A\) và \(B\) không độc lập.