Giải bài 7.16 trang 31 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Cho hình hộp \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a và \(AA' = a\sqrt 2 \)

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD \cdot A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh a và \(AA' = a\sqrt 2 \), hình chiếu vuông góc của \(A\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) trùng với trung điểm của \(B'D'\). Tính góc giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Gọi \(O\) là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\)

Xác định hình chiếu vuông góc của \(AA'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'CD'} \right)\)

Tính góc giữa đường thẳng \(AA'\) và hình chiếu của nó rồi kết luận

Áp dụng tỉ số lượng giác cho tam giác vuông để tính góc

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\).

Ta có: \(A'O\) là hình chiếu vuông góc của \(AA'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'CD'} \right)\), góc giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) bằng góc giữa \(AA'\) và \(A'O\).

Mà \(\left( {AA',A'O} \right) = \widehat {AA'O}\), ta lại có \(A'O = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Do đó \({\rm{cos}}\widehat {AA'O} = \frac{{OA'}}{{AA'}} = \frac{1}{2}\),